چند وجهی ها

comments 
| توسط روزبه ابرازی | تاریخ : شنبه دوازدهم شهریور 1384

 فرمول چند وجهی

فرمولی که ارتباط ساده میان  رؤوس، وجه ها ، لبه ها را بیان می کند بطور مستقل توسط اویلر و دکارت کشف شد . این فرمول همچنین به نام فرمول اویلر- دکارت هم معروف است. این فرمول همچنین تعدادی از چند سطحی غیر محدب و نه همه آنها را در بر می گیرد.

فرمول چند سطحی بیان می کند:

V + F – E =2

که در آن V=N0 تعداد رئوس چند وجهی ، E=N1 تعداد لبه ها و F=N3 تعداد وجه ها است.

قرمول بالا  برای چند سطحی های N  بعدی  توسط Schläfli به صورت زیر تعمیم  داده  شد:

Π1 : N0=2

Π2 : N0–  N2=0

Π3 :N0 – N2 + N 4 =2

Π4 : N0 – N2 + N 3 – N4 =0

ΠN : N0 – N2 + N 3…(-1)N-1NN-1=1-(-1)N

 و بویسیله Poincaré اثبات شد.

                                           

تاریخچه

پس از اهرام مصر مشهور ترین مجموعه چند وجهی ها در زمان باستان مجموعه اجسام منتظم است به نظر می رسد تا ئتتو س ریاضی دان یونانی اولین کسی است که با آنها ریاضی گونه برخورد کرده افلاطون دوست تائتتوس چند وجهی های منتظم را با کیهان شناسی های خود در آمیخت تیمائوس در گفت گوی خود روی چهار عنصر –که همه چیز از آنها تشکیل شده است بحث می کند. اجزای زمین به شکل مکعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند. اجزای هوا که هشت وجهی های منتظم هستند سبک هستند و اگر روی رئوس مخالف نگاه داشته شوند به آزادی می چرخند اجزای آتش چهار وجهی های منتظم هستند و گوشه های تیزی دارند. اجزای آب به شکل بیست وجهی های منتظم و کروی هستند و ماننند مایعات می توانند بغلتند سیصد سال ق.م زمانی که اقلیدس مقاله های خود را می نوشت یونانیها درباره هندسه فضایی نظریاتی کاملا شکوفا داشتند در کتاب "یازده مقاله" اقلیدس روی  ویژگی های طولی چند وجهی ها بحث می کند او در کتاب سیزدهم نشان داد که چگونه می توان یک چهار وجهی منتظم ساخت و اثبات کرد که فقط پنج تا از آنها وجود دارد . هرون اولین کسی بود که به چهار وجهی منتظم به عنوان اجسام افلاطونی اشاره کرد پاپوس از مطالعات ارشمیدس که در حال حاضر مفقود شده است – روی چند وجهی های غیر منتظم –که اجسام ارشمیدسی نیز نامیده می شوند گزارش می دهد.

 در دوره رنسانس زمانی که نوشته های کلاسیک روم و یونان باستان با پشت سر گذاشتن سالهای تاریک اروپا در دسترس قرار گرفت خداشناسان و فلاسفه و هنرمندان و دانشمندان کارهای افلاطون و اقلیدس را مورد مطالعه قرار دادند واین مطالعه ها علاقه آنها را نسبت به چند وجهی ها بر انگیخت.

یوهانس کپلر با نسبت دادن دوازده وجهی به کل جهان – شاید چون دوازده وجه آن با  دوازده  نشان دایرةالبروج   متناظر بود –به کیهان شناسی افلاطون مطالبی را افزود به این تریتب هرچند وجهی منتظم با یکی از جنبه های دنیا متناظر می شد کپلراز این فراتر رفت و چند وجهی های منتظم را به دستگاه کپرنیک و سیارات در حال حرکت در مدار خورشید وارد ساخت و از آنها برای توضح وجود شش سیاره (عطارد، زهره، زمین، مریخ، مشتری، زحل) و فاصله خاص این سیارات از مرکز خورشید استفاده کرد . کپلر جوان به این نظریه که، پنج فاصله ی  بین شش سیاره ، با پنج جسم منتظم متناظر است، تمایل پیدا کرد و به کمک آن دو معما را در یک زمان توضیح داد: چرا دقیقا پنج وجهی منتظم و چرا دقیقا شش سیاره وجود دارند ؟

او پس از تلاش بسیار برای مرتب کردن چند وجهی های منتظم جهت تطبیق با این نظریه و داده های دانسته شده به طرح زیر دست یافت زحل در کره خارجی حرکت می کند که شامل یک مکعب است و یک کره در آن قرار گرفته است که مشتری روی آن حرکت می کند و خود شامل یک چهار وجهی منتظم است که کره مریخ درآان قرار دارد . به همین ترتیب کره مریخ شامل یک دوازده وجهی منتظم است پس کره زمین شامل یک بیست وجهی کره زهره شامل یک هشت وجهی و در نهایت کره عطارد است .کپلر از کشف خود چنان به وجدآامده بود که از حامی خود دوک وورتنبرگ خواست که مدلی طلاعی از چند وجهی های تو در تو و کره ها برای نشان دادن طرح او به دنیا و توضیح جهان مرموز ساخته شود . برخی از تجربیات کپلر درباره چند وجهی ها تا حدوی روشن بود او از مطالعات ارشمیدس از طریق پاپوس در زمینه چند وجهی های نیمه منتظم آگاه بود و با شرحی دقیق و استدلالی  مورد به مورد، برای تکمیل فهرست خود، صورت کاملی از این اجسام را تهیه کر د.

طی این دوره چند وجهی ها توجه بسیاری از دانش پژو هان  هنرمندان و صنعت گران را به خود جلب کردند از جمله آلبرشک دورر که تصور الگوی خیاط را برای یک چند وجهی طرح کرده بود ولئو نارد و داوینچی که کتاب لو کا پالیولی را در زمینه چند وجهی وجهی های منتظم و نیمه منتظم مصور نمود . دکارت نیز چند وجهی ها را مورد مطالعه قرار داد و فرضیه ای را ثابت کرد که نتیجه سریع ان فرمول اویلر است . او این فرمول مشهور را اولین بار در نامه ای خطاب به کریستین گلد باخ نقل کرد.

ا ین پایان داستان چند وجهی ها نیست ریاضیدانان هنوز آنها را مطالعه می کنند  . و دانش مندان برای توصیف اشکال مولکول ها بلورها و ترکیبات موجودات زنده به استفاده از آنها ادامه میدهند .

 

مدل سازی

دوازده وجهی         بیست وجهی          هشت وجهی مکعبی        بیست وجهی ناقص                

هشت وجهی ناقص                هشت وجهی لوزوی مکعبی       

 نرم افزار

 از این سایت هم می توانید نرم افزارSMALL STELLAو GREAT STELLA را دانلد کنید.نرم افزار طراحی وتهیه الگو برای چند ضلعی ها. البته بصورت EMDO   ولی نرم افزارهای   2280  کیلویی که حاوی مدل های متنوع از  چند وجهی ها است ارزش دانلد کردن رو دارد.

                                                      

                                                           لینک صفحه دانلود

ریاضیات در خواب

comments 
| توسط روزبه ابرازی | تاریخ : شنبه پنجم شهریور 1384

شاید برای شما هم اتفاق افتاده باشه که جواب یه مسأله مشکل را توی خواب یا بعد از خواب یا شاید تو خواب وبیداری پیداکرده باشید ، این حرف رو خودم چند بار تجربه کردم نمونش همین چند روز پیش بود که جواب رو بین خواب و بیداری پیدا کردم و رو کاغذ نوشتم حالا که می خوام راه حلش رو پاک نویس کنم هر چی به این مغزم فشار می یارم چیزی یادم نمی یاد  حالا اگر شما هم  تجربه های این جوری مثل استاد مبانی ریاضی ما که سر یکی از پروژهاش این اتفاق براش افتاده بود دارید بنویسد و نظر بدید نمونه مستندش هم  مصاحبه با Richard k.Guy ریاضی دان برجسته که بیش از 200 مقاله و 9 کتاب دارد و معتقد است بیشتر کارهای مهمش را در خواب انجام داده(نتیجه اخلاقی : برو بخواب باقی کارها خودش ردیف میشه)  


 Ricard guyً

 

مصاحبه گر: شما چگونه کار ریاضی انجام می دهید ؟

گای: گمان می کنم اصلا اگر کاری انجام بدهم در خواب است .

 

مصاحبه گر: به نظر شما ریاضی دانان زیادی هستند که این طور کار می کنند

گای: بله مغز انسان پدیده خارق العاده ای است که ما هنوز از درک کار آن عاجز هستیم . برای بیشتر مسائل ریاضی اندیشه بی تامل و کاغذ ومداد –چیز هایی که فرد معمولا آنها را با حل مسئله ریاضی مرتبط می داند –به هیچ وجه کافی نیستند . باید مسئله رادرک کنید .چند نماد روی کاغذ بنویسید و نگاهشان کنید .بعد هم چند تا شکل الکی بکشید . بیشتر ما بر خلاف" اردیش" که جواب هر مسئله را تقریبا بی درنگ پیدا می کند می باید شب را سپری کنیم و اگر خوش اقبال باشیم صبح که بیدار می شویم تا حدی به ماهیت مسئله پی برده ایم در موارد نادری که چنین شناختی از مسئله دارم اغلب آگاه نیستم که به آن دست یافته ام اما وقتی که دوباره سراق مسئله می روم و مدادم را روی کاغذ می گذارم اندیشه ها به نحوی با هم جفت وجور می شوند و کار با موفقیت کامل به پایان می رسد برایم واضح است که مغزم تمام شب مشغول کار کردن بوده و به صورت ترکیباتی حالتها رابرسی کرده و مقدار زیادی از محاسبات نسبتا ساده را انجام داده است .به نظر می رسد که روند کار را می داند .من برای نخستین بار هنگام کار روی مسئله آخر بازی شطرنج –که در واقع مسائل ترکیباتی متناهی هستند –متوجه این ویژگی مغز شدم . شطرنج ترکیباتی است . اولین نشانه علاقه من به ترکیبات –من نمی دانستم که چنین علا قه ای دارم و حتی نمی دانستم که شاخه ای به نام ترکیبات وجود دارد -هنگامی ظاهر شد که داشتم مسائل اخر بازی را طرح می کردم شبها تا دیر وقت بیدار می ماندم تا یک وضعیت را تجزیه و تحلیل کنم . در نهایت به خواب عمیقی می رفتم و صبح که بیدار می شدم متوجه می شدم اگر پیاده ها را فقط یک خانه حرکت دهم همه چیز به وضوح درست از اب در می اید فکر می کنم مغزم باید تمام این حالات متناهی ولی نسبتا زیاد را شبانه آزموده باشد به نظر خیلی از ریاضی دانان به همین طریق کار می کنند .

 

مصاحبه گر: آیا با ریاضی دانان دیگری هم در رابطه با این مطلب صحبت کرده اید ؟

گای: خیر ولی "اداما"ر در کتاب "روانشناسی ابداع در ریاضیات "مثالهایی ذکر می کند که به وضوح نشان می دهد مردم چنین کار می کنند . اوایل همین هفته شخصی در باره۱" سر"صحبت می کرد او می گفت اگر از سر سئوالی بپرسید یا فورا جواب می دهد و یا اگر مکث کند و شما برای جواب اسرار کنید خواهد گفت که آخر من چطور می توانم در مورد سوالی فکر کنم که  نمی دانم جوابش چیست به نظرمن نکته خیلی قشنگی بود در سطح خیلی پایین تر هر کسی باید از خود بپرسد که پاسخ می تواند چه شکلی باشد آنگاه مغز شما بررسی می کند که آیا نظرتان درست است یا نه وبه دنبال یک توالی منطقی می گردد تا شما را به سر منزل مقصود برساند .

مصاحبه گر:آیا به نظر شما منخصصین نظریه اعداد بابیقه ریاضیدانان فرق دارند ؟آیا آنها خود را متفاوت با بقیه می دانند ؟

گای: سوال بسیار مشکلی است . فکر می کنم که بهتر است به آن پاسخ سر راستی را ندهم . از این جنبه که من یک متخصص نظریه اعداد نیستم و علایق دیگری نیز دارم باید ادعا کنم که آنها با بقیه فرقی ندارند ولی از این جهت که یک متخصص نظریه اعداد هستم باید بگویم که ما کلاس خاص خودمان را داریم .

 مصاحبه با ریچارد کی .گای


 مشخصات و مقالات Richard guy

.  ۱
 Serre- Jean-Pierre 

French mathematician who was awarded the Fields Medal in 1954 for his work in algebraic topology

هوش مصنوعی

comments 
| توسط روزبه ابرازی | تاریخ : چهارشنبه دوم شهریور 1384

متن زیر قسمتی از مصاحبه باDonlan knuth است که دکترای  ریاضی اش را از دانشگاه صنعتی کالیفرنیا دریافت کرده ودارای جوایزارزنده بی شماری است و بیشتر ازهمه به خاطر کتاب " هنر برنامه نویسی " –The art of computer programming- شناخته شده است که خواندن آن شناخت نسبی از یکی از جنبه های AI یا همان هوش مصنوعی ایجاد می کند.

مصاحبه گر: امروزه ما گهگاه با شاخه در حال پیشرفتی به نام هوش مصنوعی برخورد می کنیم آیا هیچ وقت توجه شما به این موضوع جلب شده است ؟

دانلند کنوث: من از مطالعه راجب به هوش مصنوعی لذت می برم . بسیاری از الگوریتم های جلد چهارم کتابم برای حل مسائل بسیار جالب در هوش مصنوعی به کار می رود . ثابت شده است که یک تناظر یک به یک بین این الگوریتم ها و چیز هایی که مهندسین برق برای مقاصد دیگر به کار می برند وجود دارد و از این گذشته من از کنار هم قرار دادن دو متن مختلف که دارند راجع به یک موضوع سخن می گویند لذت می برم به عنوان مثال مسئله کوتاه ترین مسیر چیزی است که به صورت های مختلفی ظاهر می شود .زبانی که با آن در هوش مصنوعی الگوریتم های حل مسئله و اثبات قضایا مطرح می شود با آنچه دیگران از آن در الکترونیک برای همان نوع مسائل ولی در قالب مسائلی چون رد یابی سیم و امثال آن استفاده می کنند تفاوت دارد .

من متخصص هوش مصنوعی نیستم ولی فکر می کنم که جالب ترین مطلب در مورد آن چیزی است که می توانم آن را از روی کتابی نوشته Pamela McCorduck (ماشین هایی که فکر می کننند-Machines Who Think)شرح بدهم او اشاره یم کند که سابقا سوال اساسی این بود که آیا کامپیو تر ها قادرند که فکر کنند با این وجود تا به حال تمام کارهایی که به فکر کردن ربط داشته توسط کامپوترها انجام شده است و تنها توانایی انسانها که کامپوترها فاقد آن هستند انجام اعمالی است که مردم آن را بدون فکر کردن انجام می دهند !این موضوع واقعیت دارد کارهایی که ما بدون فکر کردن انجام می دهیم آنهایی هستند که کامپوتر ها هرگز انجام نداده یا به سختی انجام داده اند مثل راه رفتن . کنترل یک ربات به نحوی که بتواند مثل یک مورچه راه برود یا دادن برنامه ای به کامپیوتر که آن را قادر به تشخیص کسی که ریش گذاشته است بکند فوق العاده دشوار است . بچه ها به راحتی به چند زبان صحبت می کننند ولی کامپیوتر ها حتی نمی توانند زبانها را به درستی ترجمه کنند .تمام کارهایی که ما به طور غیر ارادی و ناخود اگاه انجام می دهیم همان هایی هستند که هوش مصنوعی قادر به انجام آن نیست در حال حاضر مهمترین مسئله راجع به این موضوع همین است. بزرگترین معما همین است که وقتی ما در حال تفکر نیستیم چه اتفاقی می افتد مورچه ها چه طور می توانند چنین اعمال پیچیده ای را بدون این که یک رهبر به آنها بگوید انجام دهند . مغزهای کوچک آنها چگونه تشخیص می دهند که چطور با هم ارتباط برقرار کننند یا مشکلی را حل کنند ؟این مسائل کاملا فراتر از معلومات کنونی ما قرار دارند .من به هوش مصنوعی خیلی علاقه دارم ولی هیچ موقع عهدی نکرده ام که کتابی در مورد آن بنویسم .

مصاحبه گر:پس شما خیلی هم به آینده هوش مصنوعی خوش بین نیستید ؟

دانلند کنوث:مطالعه هوش مصنوعی واقعا مهم است از این لحاض که وقتی ما سعی داریم بفهمیم کارها چطور انجام می شوند چیز های بیشتری می آموزیم تا اینکه انجام آنها را به یک سیستم کامپیوتری بسپاریم کوشش برای خود کار نمودن یک چیز یک موفقیت بزرگ علمی است . بعد از این که شما یک فرایند را خودکار کردید نکته مهم در واقع این است که شما راجع به آن فرایند اطلاعات دارید نه این که اکنون کامپیوتر می تواند یک کار پیچیده انجام دهد . هنگامی که شما سعی دارید چیزی را به کامپیوتر توضیح دهید باید آن مطلب را حتی از هنگامی که می خواهید به کسی درس دهید بهتر درک کنید در قدیم می گفتند :تو چیزی را یاد نمی گیری مگر این که آن را به کس دیگری درس داده باشی امروز می گویند :تو واقعا چیزی را یاد نمی گیری مگر این که آن را به یک کامپیوتر یاد داده باشی این مطلب راز و رمز فراگیری است . کامپیوتر واقعا وسیله خوبی برای سنجش فهم است . کامپیو تر به شما اجازه نمی دهد دستهایتان را تکان دهید و بگویید :خالا تو یک کمی هم فکر خودت را به کار انداز شما باید آن موضوع را به روشنی درک کنید هیچ راهی برای سر هم بندی وجود ندارد . به همین دلیل است که من می گویم دانش کامپیوتر در اموزش دخالت دارد . اگر دانش جویان بتوانند مطلبی را به کامپیوتر یاد بدهند آن وقت است که شما می دانید آنها کاملا به مطلب احاطه دارند .

انتزاعی یا کاربردی

comments 
| توسط روزبه ابرازی | تاریخ : سه شنبه یکم شهریور 1384

 ریاضیات دوجهت بسیار متفاوت دارد : از یک طرف بیش از حد  انتزاعی است و رابطه ها و نظریه های آن تنها در ارتباط با هم شناخته می شود ولی از طرف دیگر پیشاهنگ همه دانش ها است و همه آنها، و به طبع آنها، صنعت و زندگی امروزی وابسته به ریاضیات است .

 ناچیز گرفتن هر یک از این دو طرف زیانهای جبران ناپذیری به بار می آورد کسی که می خواهد با ریاضیات کار کند باید هم به نیروی درونی آن (رابطه ها ، قضیه ها، نظریه ها و به خصوص روشهای استدلال )توجه کند وهم به نیروی بیرونی آن (کاربرد آن در دیگر دانش ها و در صنعت رابطه عمیق و جدی آن در عمل و زندگی روزانه پیوستگی تاریخی آن و بالاخره رابطه ای که با نیازهای زمان دارد ).

 مطالعه تاریخ ریاضیات (قصدم تاریخ ریاضیات است نه زندگی نامه ریاضیدانان – اگرچه آن هم به جای خود بی فایده نیست )تطبیق مسئله های نظری ریاضی با عمل و زندگی روزانه جستجوی راه حل های متفاوت و نا آشنا برای مسئله های ریاضی توجه به سر گرمی ها و معما هایی که از دنیای دور وبر ما مهیا شده اند و ...می تواند به هدف بارور کردن اندیشه ریاضی و شکفتگی استعدادها کمک کند .

پرویز شهریاری