بخش پذیری بر«7»

گفتن اینکه یک عدد صحیح داده شده بر 2 بخش پذیر است یا نه کار آسانی است . این کار فقط با بررسی زوج بودن آخرین رقم میسر است . روش های ساده ی دیگری هم برای تعیین بخش پذیری یک عدد بر 3و4و5و6و8و9 یا 10 وجود دارد . تنها استثنا عدد 7 است.

روش های شناخته شده برای امتحان بخش پذیری بر عدد 7 به طور شکفت انگیزی مشکل است.

این روش هم  یکی از آنها است.برای اینکه بفهمیم یک عدد مضربی از 7 است یا نه ، رقم آخر را 2 برابر کنید ، سپس عدد به دست آمده را از ارقام باقی مانده کم کنید . اگر به عددی رسیدید که بر 7 بخش پذیر است ، می توان نتیجه گرفت که عدد اصلی بر 7 بخش پذیر است .  حال اگر ندانیم که عدد به دست آمده بر 7 بخش پذیر است یا نه می توانیم همین کار را دوباره انجام دهیم .

مثلا عدد 616 را در نظر بگیرید برای اینکه بخش پذیری آن را بر 7 امتحان کنیم رقم آخر آن را 2 برابر کنید(12=6*2)،سپس جواب را از ارقام باقیمانده کم کنید (49=12– 61). چون 49 بر 7 بخش پذیر است 616 هم بر 7 بخش پذیر می شود.

این روش برای اعداد کوچک خیلی خوب کار می کند اما برای اعداد بزرگتر ،  به اندازه کافی پیچیده می شود ، به طوری که تقریبا به اندازه ی خود عملیات تقسیم بر 7 وقت گیر است.

در طول سالها افراد مختلف یک دو جین از این دست الگوریتم ها را ابداع کرده اند. آخرین روش بدست آمده متعلق به   Gustavo Gerald Toja Frachi از دانشگاه سائو پائولو برزیل است.

روش ابتکاری Toja به این صورت عمل می کند:

·             عدد زیر که مضربی از 7 است را در نظر بگیرید
6،049،344

·            از سمت راست عدد را به جفت هایی از ارقام تقسیم کنید.
44_93_04_6

·            حال تفاوت بین هر جفت از اعداد با نزدیکترین مضرب 7 بالایی یا پایینی آن ، را  حساب کنید. با جفت اول شروع کنید . برای اولین جفت  مضرب 7 پایینی را به کار ببرید، برای عدد دوم از مضرب 7 بالایی و برای سومی از مضرب 7 پایینی استفاده کنید  و به همین طریق ادامه دهید تا جفت ها تمام شود. 
44 – 42 = 2  ;   98 – 93 = 5 ;   04 – 0 = 4  ;   7 – 6 = 1  

·            ارقام به دست آمده را به ترتیبی که محاسبه کردیم (یعنی از جفت های راست به چپ) روی کاغذ بنویسید .
2541

·            برای  ارقام 2541هم  این  رویه را تکرار کنید .
25 41
41 – 35 = 6; 28 – 25 = 3
63

·            آخرین جفت ،63، مضربی از 7 است .

Toja در http://www.divisibilitybyseven.mat.br/  روش خود را توصیف می کند و راجع به اینکه این روش چگونه کار می کند توضیح می دهد.او ادعا می کند که روشش بطور قابل ملاحظه ای سریع است و به اندازه کافی برای تعیین بخش پذیری بر7 اعداد بزرگ کار آمد است.

Alexander Bogolmolny به تازگی الگوریتم Toja را برای بخش پذیری بر 11 و بر 13 گسترش داده (اینجا را ببینید http://www.cut-the-knot.org/blue/div7-11-13.shtml ) ، و Toja هم روشی برای تعیین باقیمانده هنگامی که عدد بر 7 بخش پذیر نیست اضافه کرده.

 جالب اینکه الگوریتم Toja با الگو ریتمی که توسط L. Vosburgh Lyons ، یک روان پزشک عصبی (neuropsychiatrist  ) از نیویورک ، ارئه شده با روشی کاملا  مشابه آغاز می شوند.

این مثالی است که Martin Gardner برای نشان دادن روش Lyons به کار می برد.

·        ارقام را از چپ به راست دو تا دو تا جفت کنید.( م. عدد اصلی 2359406178839 بوده)
39_88_17_06_94_35_2

·        اضافی  هر جفت را از مضرب 7 ما قبل آن .
06 – 0 = 6  ;   17 – 14 = 3 ;   88 – 87 = 4  ;   39 – 35 = 4
2 – 0 = 2  ;   35 – 35 = 0  ;   94 – 91 = 3
2036344

·        ارقام عدد به دست آمده را از سمت راست به صورت گروه های 3 تایی در آورید در زیر هم بنویسید سپس ارقام هر ستون را با هم جمع بزنید .
344
036
2
ستون اول:    3=0+3
ستون دوم:    7=3+4
ستون سوم: 12=2+6+4

·        سه رقم به دست آمده را با کاهش مضرب هفت پایینی آنها ، کوچک کنید.
3=0–3  ;  0=7–7  ;  5=7–12
 305

·        اضافی اولین رقم و دومین رقم باهم را  از مضرب هفت پایینی  حساب کنید درسمت چپ یادداشت کنید و اضافی رقم دوم و سوم را  از مضرب هفت پایینی  حساب کنید و درسمت راست  یادداشت کنید.
 305 ،5_30 ،05_3
2= 28–30   ;  5=0 – 05
25

·        رقم سمت چپ را از رقم سمت راست کم کنید . ( اگر رقم سمت راست کوچکتر از رقم سمت چپ بود 7  تا به آن قبل از تفریق اضافه کنید.) عدد انتهایی باقیمانده تقسیم  عدد اصلی بر 7 است. بنابراین عدد اصلی زمانی بر 7 بخش پذیر است که رقم بدست آمده - 0- صفر باشد.
3

هنوز به نظر می آید که انجام این مراحل کار زیادی باشد ! همیشه چیزی راجع به 7 وجود دارد که منجر به هر گونه پیچیدگی می شود.

در زمانی که ماشین حساب ها و کامپیوتر ها همه جا را  گرفته اند . روشن نیست که این الگوریتم های  بخش پذیری به چه کار می آیند. اگر چه باز ی با اعداد همیشه جاذبه های پایدار خودش را دارد بخصوص زمانی که از رمز راز عدد هفت ، بدست آمده باشد.

نویسنده : Ivars Peterson  

پیوند به متن اصلی :

http://www.maa.org/mathland/mathtrek_05_23_05.html

منابع:

Gardner, M. 1969. Tests of divisibility. In The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. New York: Simon and Schuster. See Martin Gardner's Mathematical Games.

Peterson, I. 2002. Testing for divisibility. MAA Online (Aug. 19).

برای  اطلاعات بیشتر راجع به قوانین بخش پذیری به پیوندهای زیر مراجع کنید:

بخش پذیری بر 7

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.5.shtml

بخش پذیری بر سایر اعداد

http://mathforum.org/k12/mathtips/division.tips.html,
http://www.cut-the-knot.org/blue/FurtherDivisibility.shtm  http://argyll.epsb.ca/jreed/math7/strand1/1104.htm.