ریاضی کاربردی

23:4پنجشنبه بیست و نهم تیر 1385

روزبه ابرازی

روزی ریاضی غلام نامی از هوای گرم ولایت دور از پایتخت خود که همانا کرج آباد نامندش سوی ولایت طهران شده تا ببیند این معرکه گیری رایانتو گراف که اهل فرنگ سالها در بلاد و مملکت ینگه دنیا خود به راه می انداخته و تازه بعد از هزار جور التماس به چهار پنچ تا از مستشاران ولایت فرنگ رازی شده اند که نوامیس قبیله و عشیره سوسول را به رنگ های سرخاب و سفیداب در آورده همه به یک جور البسه داخل حجره های خود ردیف کرده که معرکه IT یا همان آی تیپ سر داده و متناوب از سر گرفتار شدن در جو رنگ و لعاب اجنبی از خود و برادران تازه خود عکس یادگاری گرفته از خود حال زیاد در کنند تا چه شود.
لکن ریاضی غلام که از داخل خانه های اینترنت که به همت احمد کبیر پرزیدنت عالی دربار بر پا شده بود با کمپانی های ولایت فرنگ از جمله مایکروسافت و گوگل و IBM و قس علی تذکر هم ، آشنا بود می دانست که این رنگ های قرمز و نارنجی همه مفت یک عدد لوحه الفشرده ی آموزش word هم نمی باشد .

از قضا به قول میرزا سید علی میر فتاح دولت کریمه نیز از این معرکه گیری مشتی سوسول جماعت شباب به تنگ آمده است فی الفور دستور داده اهل حسبه ، گزمه ها و نسقچی ها را و یک سری ژاندارم استاژِ دیده را فرستاده ند در شوارع و در دکاکین کافی شاپ که بلکه این دختر ها و پسر ها را یک قدری جلویشان بگیرند.

پسر ها گیس تاب داده ، دم اسبی کرده ، گیره سر می زنند ، البسه جلف پوشیده به آن ترانس پارنت می گویند . ایضا یک شلوار پوشیده عنقریب که از پا بیفتد . از بس شل بوده و به این شلوار ها هیچ کمربند نمی بندند. میگویند که مد نمی باشد . پسر ها که به این منوال باشند ، ببین دخترها چطور می گردند و می پوشند .

اللهم اجعل عواقب امورنا خیرا

لطفا نظر داده و از بس ریاضی غلام دلداری داده که خستگی سفر از تن بیرون کند .خداوند شما را خبر دهاد.

1:29دوشنبه بیست و ششم تیر 1385

روش از سرگیری یا روش تکرار(قسمت دوم)

روزبه ابرازی

متغیر ، تابع تغییرها ی خودش

روش های گوناگونی برای به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله f(x)=0 می توان به کاربرد ، تفاوت این روش ها در چگونگی فرآیندی است که هر کدام برای پدید آوردن دنباله تقریب ها به کار می برند. در روش از سر گیری ، معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) تبدیل می شود . این معادله رابطه ای است که در آن متغیر تابع تغییر های خودش است و برای هر مقدار آغازی x₀که به جایx گذاشته شود ، یک دنباله

(x_n)= x₀ ,x₁, x₂,…….,x_k, x_k+1…..

را به دست می دهد که جمله هایش بترتیب برابرند با :

x₁=g(x₀) ,

x₂=g(x₁) ,

x₃=g(x₂) ,

x_k=g(x_k-1)

بنا بر مقدار x₀و بنابر ساختار g(x) ، دنباله (x_n) ممکن است همگرا ، واگرا یا تکرار جمله ثابت باشد. حالت اخیر (تکرار جمله ثابت)، هنگامی است که مقدار ₀x ریشه معادله f(x)=0 باشد.

مثال1:معادله 2x-1=0 را اگر به صورت x=3x-1 بنویسیم ، در این صورت ، بجز 0.5که جواب معادله است ، هر عدد دیگر را مقدار آغازیx₀ بگیریم ، دنباله ای واگرا به دست می آید . با مقدار آغازی x₀=1 داریم:

X₁=3x1-1=2 , X₂=3x2-1=5 , X₃=3x5-1=14 ,………

و با دنبال کردن عمل ، دنباله زیر را خواهیم داشت که صعودی و واگرا است:

(x_n)=1 , 2 , 5 , 14 , 41 , 122 , ….

هر عدد دیگر را هم مقدار آغازی بگیریم ، باز دنباله ای واگرا به دست می آید . چنان که :

x₀=0 => (x_n)=0 , -1 , -4 , -13 , -40 , …….

x₀=0.7 => (x_n)=0 .7 , -3.1 , -10.3 ,……..

در حالت x₀=0.5 دنباله ای با تکرار همین جمله به دست می آید :

x₀=0.5 => (x_n)=0.5 , 0.5 , 0.5 ,……….

مثال2:همان معادله 2x-1=0را اگر به صورت x=(1/3)x+(1/3) بنویسم ، با انتخاب x₀=1، دنباله

(x_n)=1 , 0.666….. , 0.555… , 0.5185… , 0.50617 , 0.502205 , 0.50068 , ……

به دست می آید که اگر به دست آوردن جمله ها را دنباله کنیم ، رقم های از مرتبه دوم به بعد ، پس از ممیز ، یکی یکی صفر می شوند که نشان می دهد دنباله همگرا و حد آن 0.5 است . اگر x₀ را برابر با هر عدد دیگر غیر از 0.5 ، انتخاب کنیم ، باز هم دنباله ای همگرا و با حد 0.5 به دست می آید.

ادامه دارد.....

5:11یکشنبه هجدهم تیر 1385

روش از سرگیری یا روش تکرار(قسمت اول)

روزبه ابرازی

و کاربرد آن در بدست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله

امروزه روش از سر گیری یک ابزار نرم افزاری بسیار کارآمد در الگوریتم های کامپیوتری است و در برنامه نویسی ها برای کامپیوتر ، کاربرد بسیار گسترده ای دارد . در رابطه ها و معادله های ماتریسی نیز به کار می رود . اما پیش از اینها ، کار برد روش از سر گیری در به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه های معادلات بوده است ، معادله هایی که با روش های شناخته شده حل نمی شده اند . با روی کار آمدن ماشین حساب و کامپیوتر ها ، این کاربرد روش از سر گیری نیز گسترش یافته است . از دیدگاه تاریخی ، غیاث الدین جمشید کاشانی ، ریاضیدان بزرگ ایرانی سده نهم هجری ، نخستین کسی بوده که روش از سرگیری را برای حل معادله درجه سوم به کار برده است . او در اثر خود به نام «رساله در جیب و وتر» از راه به کار بردن روش از سر گیری ، اندازه تقریبی ریشه معادله ای را که اکنون به صورت

3x-x³= 0.10467191…..

نوشته می شود و از روی آن ، مقدار سینوس یک درجه محاسبه می شود را تا 22 رقم بعد از ممیز به دست آورده است.

دنباله تقریب های یک عدد :

در ریاضیات کاربردی زیاد پیش می آید که باید یک عدد حقیقی را در یک محاسبه به کاربرد ، در حالی که دسترسی به اندازه واقعی آن عدد ممکن نیست ، مثلا عددی گنگ غیر جبری یا ریشه معادله های حل نشدنی باشد . در چنین فرآیند هایی ، به جای اندازه واقعی عدد ، اندازه تقریبی آن را به کار می برند . برای به دست آوردن اندازه تقریبی چنین عددهایی ، روش های گوناگونی هم نشان داده شده است .

در این روشها ، اگر بنا باشد اندازه تقریبی عدد حقیقی α بدست آید ، دنباله ای همگرا از عدد های حقیقی μ_n (μ₀ ,μ₁, μ₂,……. μ_k,μ_k+1) چنان تشکیل می شود که جمله هایش بیترتیب ، به اندازه واقعی α نزدیکتر شوند و سر انجام حد آن ، همان اندازه واقعی α باشد. این دنباله را دنباله تقریب های عدد α ، و در حالتی که α ریشه معادله داده شده f(x)=0 باشد ، دنباله تقریب های ریشه معادله f(x)=0 می نامند.

در دنباله تقریب های α ، نظیر هر عدد کوچک و داده شده ε ، جمله ای مانند μ_k وجود خواهد داشت که:

|α - μ_k|< ε

عدد μ_kبا این شرط را اندازه گیری تقریبی α با تقریب کمتر از ε می نامند .

هر گاه در دنباله همگرای μ_nهر چه باشد عدد طبیعی n داشته باشیم :

| μ_k+n - μ_k|< ε , n=1,2,3,…

و چون حد μ_k+n نیز همان حد دنباله و برابر با α است و نتیجه می شود:

|α - μ_k|< ε

از این رو ، اگر در به دست آوردن جمله های یک دنباله همگرای μ_nبه جمله ای برسیم که تفاوت آن با جمله بعد و با جمله های پس از آن ، کوچکتر از ε باشد، آن جمله ، مقدار تقریبی α با تقریب کمتر از ε خواهد بود. برای نمونه ، در دنباله

1.2 1.25 1.259 1.2599 1.25992 1.259921 ...........

که یک دنباله تقریب های ریشه معادله

X³-2=0

است ، می بینیم که جمله های از پنجم به بعد همه با جمله چهارم تا چهار رقم پس از ممیز مشترکند، یعنی تفاوت جمله چهارم با هر یک از جمله های پس از خودش ، از 0.0001 کوچکترند است. بنابر این ، عدد 1.2599 اندازه تقریبی ریشه سوم 2 با تقریب کمتر از 0.0001 است. دنباله تقریب های هر عدد حقیقی α یکتا نیست ، بنابر فرایندی که برای پدید آوردن دنباله می توان به کار برد و بنابر انتخاب جمله یکم μ₀ ، برای هر عدد α ، دنباله های زیادی را می توان تشکیل داد. از بین این دنباله ها و از آنها که همگرا باشند ، آن را باید برگزید که شتاب همگرایی آن بیشتر و نظیر هر ε ، محاسبه تعداد کمتری از جمله ها لازم باشد . به این نکته هم باید توجه داشت که یک دنباله با قانون معین هم ممکن است تنها آن گاه همگرا باشد که جمله یکم μ₀ از آن بیرون از فاصله معینی انتخاب نشده باشد.

ادامه دارد.....

1:52دوشنبه دوازدهم تیر 1385

Origami و تا زدن کاغذ به سه قسمت مساوی

روزبه ابرازی

سلام به همه دوستان ریاضی دوست من که هر از چند گاهی به وبلاگ ما سر می زنند و با نظراتشون ما رو شرمنده می کنند

اول از همه یک تبریک مخصوص می گم به مناسبت تولد وبلاگ «ریاضیات زیباست»

راستش از بس که در طول ترم از نظر وقت تو تنگنا بودم الان 10 ،12 روزه که دارم دور خودم می چرخم .یکم از این کتاب یکم از این مجله یک چند تا سایت خلاصه دچار بحران شدم. ولی یه چیزی رو خوب میدونم . درسته که به قول آقا میلاد- که یه جورایی مرشد ما تو امر وبلاگ نویسی هم شده- ریاضیات زیباست ولی این زیبایی فقط با تلاش و ممارست بدست می یاد . چه بسیار است مسائلی که بار اول ازش یک کلمه هم نمی فهمی تازه بعد از دو سه بار خواندن و رفتن در آرام پز ذهن یک چیزهایی متوجه می شی.تازه بعد از قرار گرفتن در موضع بالاتر تازه برات زیبا میشه.

ولی تو این وسط نقش استاد (صد البته که نه همه آنها و تعدادی محدودی از آنها ) جز چاپ مجدد کتاب بر روی تخته یا اگر خیلی دانشگاه بخواهد سر تکنولوژی آموزشی منت بگذارد روی تخته سفید! است. البته به دور از انصاف اگه نگیم که تو همین دانشگاه اساتیدی وجود داره که آدم جلوشون واقعاً از خودش خجالت میکشه.

تا کی می خواهیم کم کاری های خودمان رو با ذکر فقط این نکته که شما دانشجو هستید خودتون باید دنبال مطلب باشید جبران کنید . آخر ترم هم یه 10 ناقابل کف دست 50 نفر دانشجو بزارید .آخه مگه میشه این همه آدم با هم ایراد داشته باشند و

شما بی ایراد .

من که از هر چی لفظ دکتر احساس.. ..... .... .. دارم .بر فرض هم شما ها در حد اون مدرک دانش و صرفا دانش داشته باشید آیا این دلیل میشه جایگاه مقدس استادی با حقوق ماهی n تومان و گرفتن بودجه های الکی که هیچ وقت صرف هیچ کار مفیدی نخواهد شد رو اشغال کنید.(برای این یکی ایش خودم مورد مستند دارم)

حالا بماند که دانشجوی اینترنتی ، تلفنی ، روزنامه ای ، رادیویی ، تلویزیونی ، .... با شهریه ترمی فلان رقم جذب می کنید. من که شنیدم دانشگامون پنجشنبه ها و جمعه ها نمایشگاه ماشینهای ..... میشه.تو رو خدا یکی بیاد جلوی این نقطه ها رو بگیره می ترسم یه روز برسه که همه وبلاگ ها پر نقطه بشند.

خوب حالا یه کم سبک شدم ! بنابراین برای اینکه این پست هم خالی نمونده باشه یه مطلب می زارم.راستش یه چند تا مقاله خوب بود ولی به علت سطح پایین دانش خودم از ترجمه ش صرف نظر کردم انشاءالله کم کم .اتفاقا توی همین سادگی هاست که اتفاقات بزرگ می افتد.

Origami و تا زدن کاغذ به سه قسمت مساوی:

وقتی دبیرستان بودم خیلی به این جور کارها علاقه داشتم ولی جز قایق کاغذی ، نمک دان و یکی دوتا مکعب و چند وجهی های ساده چیز دیگه ای بلد نبودم . تو کتاب فروشی ها هم چیز زیادی پیدا نمی شد جز یه کتاب جیب پالتویی نازک که جالب ترین چیزش نوار موبیوس بود اونم فقط یه اشاره کوچک.

هنر کاغذ و تا فقط به هندسه مربوط نمیشه توش می توانیم سر و کله جبر ، نظریه اعداد و ترکیبات رو هم پیدا کنیم.

تا زدن یک مربع به سه قسمت مساوی یکی از ساده ترین دستور های اریگامی است:

بیشتر افراد مشکلی در تا زدن یک برگه به نصف ، چهار قسمت و هشت قسمت مساوی ندارند ولی تا زدن به 3 قسمت تا حدودی زیرکانه تر است.

شکل های زیر نشان می دهد که چگونه این کار انجام می شود.

یک مربع را بردارید و با گذاشتن یک لبه آن بر روی لبه دیگر و همچنین در راستای یک قطر آن دو خط تا بر روی آن ایجاد کنید.سپس از نقطه میانی بدست آمده بروی ضلع مربع تا گوشه مقابل آن روی مربع خط تای سوم را ایجاد کنید. نقطه برخورد این خط تا با خط تای قطری را P نامیده ایم. حال کافی است تا خطی عمودی از این نقطه رسم شود تا مرز یک سوم اول کاغذ مشخص شود.

خیلی راحت از طریق تحلیلی یا هندسی درستی این الگو قابل اثبات است.

حال سوالی که به ذهن خطور می کند این است که چگونه این روش قابل تعمیم برای تقسیم کاغذ به 5 یا هر تعداد فرد دیگر است.

از این قبیل فعالیت های آموزنده و لذت بخش در ارگامی زیاد یافت می شود.ازجمله در کتاب هال.

"هدف من این است که جنبه های ریاضیاتی زیادی از اریگامی پیدا کنم و به صورتی آنها را بیان کنم که قابل استفاده در دانشگاه ها و معلمین دبیرستان ها باشد." این حرف های تام هال(Tom Hull) است که از بچگی به اریگامی علاقه داشته و دانش آموخته رشته ریاضی است او همچنین در کتاب جدیدش 22 تا از فعالیتهای عملی اش را از بدست آوردن یک مثلث متساوی اضلاع تا اکتشافاتش در مورد خم های گوسی بیان کرده. وی ادامه می دهد" یکی از جاذبه های اصلی اریگامی در تدریس ریاضی این است که اریگامی به مشارکت دست نیاز دارد. زمانی که هر کسی برای رسیدن به یک سهموی هایپربولیک در تلاش است برای کسی که در اتاقش مخفی شده و دائم در خواب است شانسی وجود ندارد."

" این واقعیت که اریگامی به لحاظ معنی فعالیت دستی است به آن طبیعتی برای یادگیری فعال می دهد."

"یک شخص می تواند در حین تا زدن به کاغذ استدلال هم بکند، به خصوص همیشه در حین ساختن مدل های هندسی یادگیری پنهان ریاضی هم شکل می گیرد. وقتی یک دانش آموز می تواند یک دوازده وجهی را بسازد نمی تواند از یادگیری خصوصیات بنیادی این اشیاء بی بهره بماند."

لینک های مفید:

اریگامی و ریاضی

http://www.paperfolding.com/math/

کتاب Project Origami: Activities for Exploring Mathematics و سایت تام هال

http://www.akpeters.com/product.asp?ProdCode=2582

http://www.akpeters.com/ProjectOrigami/

http://www.merrimack.edu/~thull/

تازدن های خیالی

http://www.sciencenewsforkids.org/pages/puzzlezone/muse/muse0301.asp

مقاله های مرتبط Ivars Peterson که از بس تو این وبلاگ ترجمه شده معرف حضورتون است

A cabinet of mathematical curiosities

Paper bags and tricky folds

Folding maps

2:16دوشنبه پنجم تیر 1385

چگونه می توانیم از یک دایره مربع بسازیم

روزبه ابرازی

چگونه می توانیم از یک دایره مربع بسازیم:

زمانی که ماهیت یک شکل هندسی در برابر ریاضیات رنگ می بازد

معلوم نیست که تفکر راجع به این سوال به ظاهر ساده عاقبت ما رو به کجا خواهد رساند.

این سوال ، یعنی: تبدیل یک دایره به مربع را ،در نظر بگیرید حالا دایره ای را با یک تکه کاغذ بسازید و سپس شروع کنید به تقسیم آن ، به تکه هایی که بتوان با آنها یک مربع ساخت بطوری که مساحت این مربع با دایره اولیه برابر شود.

این کار به نظر غیر ممکن میاید:« آخه چطور میشه از دست منحنی ها خلاص شد؟»

این جاست که ریاضیات وارد عمل میشود .در سال 1989 یک ریاضیدان مجار ستانی به نام میکلاس لاکزکویچ (Miklós Laczkovich ) این شاهکار پیچیده ذهنی را انجام داد و ثابت کرد که این کار از لحاظ نظری ممکن است و میشود یک دایره را به تعدادی متناهی تکه تقسیم کرد بطوری که آرایش مجددی به صورت دایره پیدا کند.

مسئله مورد بحث ما که توسط میکلاس لاکزکویچ حل شده یک معمای تاریخی شناخته شده برای ریاضیدانان مشهوری چون ارشمیدس ، اقلیدس و سایر دانشمندان یونانی بوده.

بحث ما بر سر این است که: «آیا می توان فقط با خط کش و پرگار یک مربع رسم کرد که مساحتی برابر با یک دایره داده شده ، داشته باشد»

این مسئله با وجود تلاش های ریاضیدانان متعددی ، چه آماتور و چه حرفه ای، سال ها بدون جواب ماند. اقبال عمومی راجع به این سوال بسیار بود و شمار پیشنهادات برای حل آن که از استدلال های غلط منتج میشد بالا گرفت تا جایی که آکادمی پاریس لازم دید تا قانونی را تصویب کند که به موجب آن هیچ راه حلی که سعی در مربع سازی دایره داشته باشد نباید مورد بررسی قرار بگیرد !

در پایان ، راه حل این مسئله منوط به خواص عدد پی ∏ شد .« یک دایره و یک مربع زمانی مساحت برابر دارند که نسبت ضلع مربع به شعاع دایره با ریشه دوم عدد پی ∏ برابر باشد.»

در سال 1882 فردیناند وون لایندرمن( Ferdinand von Lindemann )،1939-1852 ،ثابت کرد عدد پی ماهیتی است که به عنوان یک عدد متعالی شناخته می شود و این مطلب به طور موثری از احتمال ایجاد یک مربع از دایره با استفاده از خط کش و پرگار می کاهد . زیرا روشی برای تقسیم یک خط با نسبت مورد نیاز ما ، که وابسته به عدد پی است ، تنها با استفاده از خط کش و پر گار وجود ندارد زیرا ساختار تمام خط کش ها و پرگار ها از لحاظ هندسی معادل با اعداد جبری است و عدد پی به عنوان یک عدد متعالی نمی تواند از این برابری بدست آید.

لاکزکویچ نسخه ای از این سوال را بر عهده گرفت که توسط آلفرد تارسکی( Alfred Tarski )،1902-1985، در سال 1925 بیان شد تارسکی محدودیت استفاده از خط کش و پرگار را از این مسئله برداشت و سوال را این گونه مطرح کرد آیا هیچ راهی وجود دارد تا دایره را به تکه هایی تقسیم کرد که این تکه ها آرایش مجددی به صورت یک مربع هم مساحت با دایره اولیه داشته باشند.

یک سال قبل از طرح این سوال توسط تارسکی ، وی به همراه استفان باناچ(Stefan Banach) حکمی مشابه و قابل توجه را بر پایه حدسی مشابه در