تبليغاتX
ریاضی کاربردی ریاضی کاربردی      ریاضیات کاربردی و علوم کامپیوتر

                 

 

 

صفحه نخست
پست الکترونيک
آرشيو وبلاگ

 

درباره وبلاگ

آيا کساني که مي دانند با کساني که نمي دانند يکسانند. قرآن کريم
ریاضی کابردی شاخه ای از ریاضیات نیست بلکه جهت حرکت در آن است.
نویسندگان :
شهریار میرزاده روزبه ابرازی
دانشجویان ریاضی کاربردی
دانشگاه خواجه نصیر الدین طوسی
E-Mail:R.Ebrazi@gmail.com

 

نویسندگان وبلاگ

روزبه ابرازی
شهریار میرزاده


 آرشيو موضوعي

  عمومی
تئوری بازی ها
تئوری اعداد
سیستم های خبره
بهینه سازی
ریاضیدانان
توپولوژی
رمزنگاری

 

نوشته هاي پيشين

شهریور 1386
اردیبهشت 1386
فروردین 1386
اسفند 1385
بهمن 1385
مهر 1385
شهریور 1385
مرداد 1385
تیر 1385
اردیبهشت 1385
فروردین 1385
اسفند 1384
بهمن 1384
دی 1384
آذر 1384
مهر 1384
شهریور 1384
مرداد 1384

 

جستجو و آمار

Google

در اين سايت

در كل اينترنت
 



 

 

0:43یکشنبه یازدهم شهریور 1386

کاربردی از ریاضیات در طراحی جاده ها و خطوط راه آهن

روزبه ابرازی

 

قطار های مدل اغلب داری دو نوع ریل هستند : ریل های خمیده ، که در بیشتر اوقات کمان هایی از یک دایره به شعاع R هستند ، و ریل های راست.  این ریل ها عمدتا طوری طراحی شده اند که به شکل زیر سرهم بندی می شود 
مسیر های AB و  CDمستقیم و مسیرهای BC و  DAنیم دایره هستند.اما آیا این مسیر ها به اندازه کافی خمیده هستند ؟!
مسیر های طراحی شده بوسیله اصطکاک پایدار می ماند و اغلب ممکن است در هنگام عبور قطار از روی آنها جدا شوند.اگر چه ممکن است در وسط مسیر های خمیده یا مسیر های مستقیم اتصالات دیگری نیز وجود داشته باشد ولی در بیشتر مواقع مسیر کلی از نقاط A,B,C,D جدا می شود .
برای بررسی این اتفاق تصور کنید قطاری با سرعت  ثابت  در حال حرکت است بنابراین شتاب مماس آن یعنی  صفر است و در نتیجه شتاب کلی آن تنها شتاب مرکز گرای آن   است( شعاع خمیدگی مسیر است که برای شکل بالا بر روی مسیر خمیده مقداری برابر R دارد).بنابراین اندازه شتاب بر روی مسیر مستقیم صفر است و در مسیر نیم دایره  است.به این دلیل مقدار شتاب در نقاط A,B,C,D نا پیوسته است (همانطور که در نمودار مشخص است). همین نا پیوستگی سبب می شود تا نیروی عکس العملی که از جانب قطار به ریل وارد می شود نیز در این نقاط نا پیوسته باشد . به همین دلیل نوعی شوک یا ضربه به هنگام وارد شدن و یا ترک پیچ وجود دارد ( البته حتما اثر این ضربه را در پیچ های غیر اصولی هنگام عبور خودرو و یا برعکس نیروی نرم و یکنواختی را در هنگام سفر در داخل مترو حس کرده اید) برای جلوگیری از بوجود آمدن چنین نقاط فشاری که موجب خروج قطار از ریل و یا خروج خودرو از جاده می  شود مسیرها می بایست طوری طراحی شوند که خمیدگی جاده بطور یکنواخت تغییر کند.( البته این طراحی بطور نسبی و با توجه به شرایط محیطی و کمک گرفتن از شیب و اتصالات قوی تر نیز قابل بهبود است )

مثال : مسیری در امتداد  منفی محور x ها و مسیر دیگری در امتداد شعاع y=x-1 ، x≥2 وجود دارد می خواهیم این دو مسیر را با استفاده از منحنی  چند جمله ای f، به اندازه کافی خمیده و با حد اقل درجه ،  طوری بهم وصل کنیم که هیچ گونه نا پیوستگی شتاب در نقاط اتصال احساس نشود.

راه حل : منحنی f باید طور انتخاب شود که مسیر ، شیب و خمیدگی آن در نقاط  x=0 و x=2  پیوسته باشد.(همانطور که می دانیم خمیدگی عکس شعاع خم است )از آنجا که خمیدگی ( curvature ) منحنی f بصورت زیر است

 
و f چند جمله است ما تنها نیاز داریم f و  'f و ''f در نقاط اتصال به y=0 ، x≤0 و y=x-1 ، x≥2 مقادیر y و  'y و ''y را داشته باشد تا پیوستگی های مورد نظر اعمال شود یعنی هم مسیر پیوسته شود و هم از پیوستگی f' و f'' پیوستگی   نتیجه شود و بنابراین   و شتاب کل   پیوسته می شود.

y(0)=f(0)=0    y'(0)=f'(0)=0   y''(0)=f''(0)=0
y(2)=f(2)=1    y'(2)=f'(2)=1  y''(2)=f''(2)=0

این شش شرط مستقل به ما چند جمله ای درجه  5 را پیشنهاد می کند :

f(x)=A+Bx+Cx2+Dx3+Ex4+Fx5
f'(x)=B+2Cx+3Dx2+4Ex3+5Fx4
f''(x)=2C+6Dx+12Ex2+20Fx3

سه شرط x=0 ، A=B=C=0 را نتیجه میدهد و برای سه شرط x=2 داریم :

8D+16E+32F=f(2)=1
12d+32E+80F=f'(2)=1
12D+48E+169F=f''(2)=0

که عدد های D=1/4 و E=-1/16 و F=0 را نتیجه می دهد و در نتیجه جواب :

که در نهایت مسیر کلی بصورت زیر است:

 
است. البته طراحان جاده ها و سازندگان ریل قطار ها اغلب از چند جمله ای ها برای اتصال استفاده نمی کند و در عوض از خم های clothoid و Lemniscat استفاده می کنند. چرایی استفاده از خم های بالا نیز به خواص جالب آنها بر می گردد که خود قبل تامل می باشد! 


19:29جمعه سیزدهم بهمن 1385

کاربردی از هندسه فراکتال

روزبه ابرازی

«این جمله که "هر چیزی قطعیت ندارد "، خودش فاقد قطعیت است.»

بلز پاسکال

یکی از کاربردهای فراکتال در مکانیک سیالات و شیمی است من یادمه موقعی که پدرم توی شرکت می خواست رنگدانه های جدید رو برای یک کار خاص آماده کنه از همین روش های فیزیکی یعنی استفاده از آسیاب هایی که داخل استوانه آن ساچمه های شیشه ای (برای رنگ های روشن ) و ساچمه فلزی ( برای رنگ های تیره)  داشت استفاده می کرد و سپس با تست های مخصوصی که عبارت بود از کشیدن رنگ بر روی یک صفحه خاص به دانه هایی با مقیاس مشخص می رسید البته روش هایی هم برای ضخامت سنجی خشک وجود دارد مثلا استفاده از ضخامت سنج دیجیتال ، ضخامت لایه رنگی به نوع رزین و عوامل دیگری هم بستگی دارد در هر صورت برای رسیدن به کیفیتی خاص  به این گونه روش های مقیاس بندی از 300  میکرون تا زیر 30 میکرون نیاز بود ولی طبیعتاً زمانی به نتیجه مطلوب و کنترل شده می رسیم که عمق دقت ابزاری و دقت روش استفاده شده بالا رود. کاربرد خاصی از هندسه فراکتال که در زیر مطرح می شود در همین راستا می باشد یعنی بالا بردن دقت و کنترل و نیز در کاهش استفاده از حلال ها و روان سازهایی که برای توزیع سنتی یک ماده به کمک سیال نیاز است.

 تعدادی از این کاربرد ها به صورت زیر است :
کروماتوگرافى(جدا کردن عناصر رنگى از هم) سیال های دوفازی یا تک فازی ، تبادل یونی ، جذب از سطح ، تقطیر ، هوادهی به مایعات ، جدا سازی ناخالصی ها از گاز ها ، استخراج ، ته نشین سازی و تصفیه ، مخلوط کردن و  عملیات راکتور ها .

مقیاس بندی ذرات سیال و پخش آن از ملزومات کار با سیالات(مخلوطی از ذرات و حلال) است که در روند انجام عمل مخلوط سازی و اصلاح هندسی سیال به کار می رود. فراکتال ها به لحاظ ساختاری دارای مقیاس بندی عمیقی هستند و همین خاصیت آنها را مخاطب مسائل مشخصی می نماید ، مثلا در یکنواخت سازی سیال و روند افزایش مقیاس به طریقی که هدایت شده و منطقی  باشد. در موارد مشخصی می توان یک فراکتال مهندسی شده و کارآمد را جایگزین آشفتگی روش های قبلی کرد. با استفاده از این فراکتال های مهندسی شده سرشت اتفاقی بودن " آبشار جریان آشفته " با هم آراستگی و یکدستی جایگزین می شود.این روش سبب کاهش مصرف انرژی  ، کاهش در حجم مراحل انجام کار و همچنین واکنش یکنواخت می شود.
به طور کلی می توان گفت فراکتال های مهندسی شده کنترل دقیقی بر روند مقیاس بندی و توزیع سیال ایجاد می کنند طوریکه کیفیت کار با سیالات بالا می رود.

نمونه ها :

در ادامه مطلب نمونه هایی از این فراکتال ها ارائه می شود

 

فراکتال توزیع که در موارد گوناگون  توزیع و جمع آوری سیال بطور یکنواخت کاربرد دارد، اندازه این وسیله از چند سانتیمتر تا بالای 6 متر تغییر میکند و در فرآیند های چند فازی شامل گازها ، آب و حلال های ارگانیک ، اسید های غلیظ و سایر محیط های خورنده فلزات کاربرد دارد.

این وسیله بر پایه تکنولوژی چند فراکتالی ساخته شده و به طور کلی برای مقیاس بندی و توزیع دو سیال یا بیشتر به طور همزمان کاربرد دارد. این وسیله با انژری کم کار می کند و گرداب های غیر یکنواخت را حذف میکند و همچنین دارای واکنش آنی به تغییرات فرآیندی است.(اینرسی فرآیندی پایین)

 

تصویر بالا هم  برای توزیع و جمع آوری مایعات در حجم به کار میرود تصاویر پایین متعلق به نمونه های اصلی است از فراکتال ها برای چگالی های متفاوت و در اندازه ای متفاوت است.تصویر آخری هم نمونه ای از فراکتال های حجمی با بعد نا صحیح ( 2.32) است .بعد یک فراکتال بر ویژگی فضا پر کنی آن تاثیر دارد.

 


1:59چهارشنبه بیست و دوم شهریور 1385

یک ترفند هندسی معروف یا قانون " از کجا آوردی "

روزبه ابرازی

«در بسیاری از شاخه های علم ، هر نسل آنچه را نسل قبلی ساخته است ویران می سازد ، و چیزی را که کسی بنا کرده دیگری از میان بر می دارد. فقط در ریاضیات است که هر نسل طبقه جدیدی به ساختمان قدیم می افزاید.» هرمان هانکل

اول از همه به خاطر این چند روز غبتم عذر خواهی می کنم ولی این جور غیبت ها در ایام آغازی سال تحصیلی و همچنین در طول آن اجتناب ناپذیره. ضمنا از compphio عزیز هم به خاطر همه نظرات صمیمانش تشکر میکنم لا اقل می تونم بگم که همش رو خواندمو ... . از دوستانم می خوام که آپ شدن وبلاگشون رو به من خبر ندن! چون من هر چند روز یکبار از طرق کدهای آر.اس.اس وبلاگ همه دوستان رو چک میکنم .


 

بله ، درسته که به قول این دوست عزیز ما بعضی وقت ها وقتی تو مهندسی  عدد پی را با عدد نپر  (e)ساده می کنند پس دیگه یک واحد مساحت ارزش زیادی نداره! ولی توی دنیای ریاضیات که قراره عدالت کامل برقرار بشه قانون " از کجا آوردی " که بعد از یه عالمه مکافات هنوز در کشور ما اجرا نشده ، از ابتدا اجرا می شده و می شه.

فریاد از این بهت سبک زنهار از این خواب گران

حالا اگر علاقه مند شدی بزن روی ادامه مطلب


ادامه مطلب


1:46سه شنبه سی و یکم مرداد 1385

تولد یک سالگی

روزبه ابرازی

سَبِّحِ اسْمَ رَبِّكَ الْأَعْلَى

 

 "باید بگم که آنقدر بهم انرژی دادید که تا ۱۰۰ سال دیگه هم این وبلاگ بروز بشه البته یک تشکر مخصوص خدمت آقای عبدالحمید پهلوزاده  دارم که ما رو شرمنده کردن

ضمنا compphilo عزیز ما هم کوچیک شماییم  به نظراتی که دادی حتما فکر میکنم و جواب میدم حتما هفته بعد روز یکشنبه یا دوشنبه یه سری بزن.

بازم از همه دوستان عزیز که حق پیشکسوتی و معلمی برای ما دارن تشکر می کنم."

 

 

عَلَّمَ الْإِنسَانَ مَا لَمْ يَعْلَمْ﴿5  كَلاَّ إِنَّ الْإِنسَانَ لَيَطْغَى﴿6

  

سلام خوش آمدید زحمت کشیدید صفا آوردید.

  

یک سال گذشت . یک سال این وبلاگ رو تحمل کردید. دستتون درد نکنه . این رو برای تعارف نمی گم ولی روز اول فکر میکردم خیلی حرف برای گفتن دارم اما کم کم که گذشت و  اومدم حاصل اندیشه های شما رو خواندم فهمیدم که باید چند برابر اونی که می خوام براتون بنویسم ازتون یاد بگیرم .

 

انشاالله تو این راهی رو که شروع کردیم با کمک آقا شهریار بهتر بتونیم حرکت کنیم .

 

ما مثل بقیه جایزه و این جور چیز ها نداریم خیالتون راحت! بنابراین به جاش  سعی میکنم تا مهر ماه  PDF تمام مقالات مفید رو  که خودتون هم بیشتر نسبت بهشون لطف داشتید بزارم تو وبلاگ .

 

اینم فال حافظ البته از نوع رایانه ایش که به مناسبت این روز عزیز گرفتم:

 

  روی تو کس نديد و هزارت رقيب هست

 

                           در غنچه‌ای هنوز و صدت عندليب هست

 

گر آمدم به کوی تو چندان غريب نيست

 

                              چون من در آن ديار هزاران غريب هست

 

در عشق خانقاه و خرابات فرق نيست

 

                                هر جا که هست پرتو روی حبيب هست

 

آن جا که کار صومعه را جلوه می‌دهند

 

                             ناقوس دير راهب و نام صليب هست

 

عاشق که شد که يار به حالش نظر نکرد

 

                                      ای خواجه درد نيست و گرنه طبيب هست

 

فریاد حافظ این همه آخر به هرزه نيست

 

                                      هم قصه‌ای غريب و حدیثی عجیب هست

 

  خواندن چند سطر بعدی توصیه نمیشه(فارنهايت 31.5)

  

می دونم که متن های ما هیچ موقع نمی تونه توقع شما اهالی محترم ریاضی رو بر آورده کنه یا به قول این دوستمون compphilo (که اگر راجع به اسم مستعارشون هم به من بی سواد یه کم توضیح بدن بد نیست)" آب در كوزه و ما گرد جهان مي گرديم" ، ما نسبت به متون ايراني اسلامي خومون خيلي بي توجهي مي كنيم.من خودم شخصا عرض کنم که از ملاصدرا فقط اینو می دونم که صبح ها با تاکسی از جلوی بنیادش رد میشم !! ولی خدا می دونه که ما هیچ موقع راه رو نشون ندادیم در ظاهر خیلی  برای کارای فیلسوف و ریاضیدان ایرانی ارزش قائل می شیم ولی تو عمل با رفتار روشنفکران غربی کلاس می زاریم. من آدم پژوهشگر واقعی کم دیدم اینجا اکثرا می خوان فقط ادامه تحصیل بدن برای اینکه ادامه تحصیل داده باشن یا برای شخصیت اجتماعی .(ببخشید ببخشید این عقیده منه شاید دیدم اندازه دریچه کوچک دوتا دانشگاه و یه دبیرستان باشه )

 

  از شما می پرسم واقعا سیستم آموزشی دوره شکوفایی فلسفه و ریاضی و معماری ایران این جوری بوده یا این یه سیستم کپی شده از تمدن غرب .(نمی گم غرب بد یا خوب ولی آدم لباس و کلاس میبینه باید تلاش و زحمت رو هم کنارش ببینه )آیا قدیم مدرک میشناختن یا تایید چهار تا عالم با سابقه رو .آیا قدیم ملت رو برای یادگرفتن این همه فیلتر می کردن یا هر کی می شست پای بحث  هر کسی که دوست داشت اگر راضی می شد ادامه می داد اگر نه هم یک استاد دیگه رو انتخاب می کرد.

  

حالا هم تا می خوای حرف بزنی و یکم از لااقل تاریخت دفاع کنی یکی با چماق میزنه توی سرت و  میگه مگه این همه تکنولوژی و ثروت نمی بینی؟! . عزیزم می بینم ولی کنارش ایدئولوژی هم می بینم . شما فکر نمی کنید اگر ایرانی به سبک ایرانی تحصیل علم کنه زودتر میتونه عقب افتادگی 600 یا 500 سالش رو جبران کنه .

 

نشون به اون نشونی که وقتی خبر درمان ضایعه نخایی شد از سایت های اجنبی هم  خبری نشد ولی تا گوساله شبیه سازی شده 5 دقیقه ای مرد آقا تیتر میزنه "قبل از گذاشتن اسم مرد ".تمدن اینه!

  

توجه: اگر لینک نظرات باز نشد از این لینک استفاده کنید:

 

http://commenting.blogfa.com/?blogid=amath&postid=41&timezone=12642


23:4پنجشنبه بیست و نهم تیر 1385

سفرنامه الکامپ

روزبه ابرازی

روزی ریاضی غلام نامی  از هوای گرم ولایت دور از پایتخت خود که همانا کرج آباد نامندش سوی ولایت طهران شده تا ببیند این معرکه گیری رایانتو گراف که اهل فرنگ سالها در بلاد و مملکت  ینگه دنیا خود به راه می انداخته و تازه بعد از هزار جور التماس به چهار پنچ تا از مستشاران ولایت فرنگ رازی شده اند که نوامیس قبیله و عشیره سوسول را به رنگ های سرخاب و سفیداب در آورده همه به یک جور البسه داخل حجره های خود ردیف کرده که معرکه IT یا همان آی تیپ سر داده و متناوب از سر گرفتار شدن در جو رنگ و لعاب اجنبی از خود و برادران تازه خود عکس یادگاری گرفته از خود حال زیاد در کنند تا چه شود.
لکن ریاضی غلام که  از داخل خانه های اینترنت که به همت احمد کبیر پرزیدنت عالی دربار بر پا شده  بود با  کمپانی های ولایت فرنگ  از جمله مایکروسافت و گوگل و
IBM و قس علی تذکر هم ، آشنا بود می دانست که این رنگ های قرمز و نارنجی همه مفت یک عدد لوحه الفشرده ی آموزش word هم نمی باشد .

از قضا به قول میرزا سید علی میر فتاح دولت کریمه نیز از این معرکه گیری مشتی سوسول جماعت شباب به تنگ آمده است  فی الفور دستور داده اهل حسبه ، گزمه ها و نسقچی ها را و یک سری ژاندارم استاژِ دیده را فرستاده ند در شوارع و در دکاکین کافی شاپ که بلکه این دختر ها  و پسر ها را یک قدری جلویشان بگیرند.

پسر ها گیس تاب داده ، دم اسبی کرده ، گیره سر می زنند ، البسه جلف پوشیده  به آن ترانس پارنت می گویند . ایضا یک شلوار پوشیده عنقریب که از پا بیفتد . از بس شل بوده و به این شلوار ها هیچ کمربند نمی بندند. میگویند که مد نمی باشد . پسر ها که به این منوال باشند ، ببین دخترها چطور می گردند و می پوشند .

اللهم اجعل عواقب امورنا خیرا

لطفا نظر داده و از بس ریاضی غلام دلداری داده که خستگی سفر از تن بیرون کند .خداوند شما را خبر دهاد.


1:29دوشنبه بیست و ششم تیر 1385

روش از سرگیری یا روش تکرار(قسمت دوم)

روزبه ابرازی

متغیر ، تابع تغییرها ی خودش

 

روش های گوناگونی برای به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله f(x)=0 می توان به کاربرد ، تفاوت این روش ها در چگونگی فرآیندی است که هر کدام برای پدید آوردن دنباله تقریب ها به کار می برند. در روش از سر گیری ، معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) تبدیل می شود . این معادله رابطه ای است که در آن متغیر تابع تغییر های خودش است و برای هر مقدار آغازی   x0که به جایx   گذاشته شود ، یک دنباله

 

(xn)= x0 , x1 , x2 ,…….,xk , xk+1…..

 

را به دست می دهد که جمله هایش بترتیب برابرند با :

x1=g(x0) ,

x2=g(x1) ,

x3=g(x2) ,

    .

    .

    .

xk=g(xk-1)

    .

    .

    .

بنا بر مقدار   x0و بنابر ساختار g(x) ، دنباله (xn) ممکن است همگرا ، واگرا یا تکرار جمله ثابت باشد. حالت اخیر (تکرار جمله ثابت)، هنگامی است که مقدار 0x ریشه معادله f(x)=0 باشد.

 

مثال1:معادله 2x-1=0 را اگر به صورت x=3x-1 بنویسیم ، در این صورت ، بجز 0.5که جواب معادله است ، هر عدد دیگر را مقدار آغازیx0 بگیریم ، دنباله ای واگرا به دست می آید . با مقدار آغازی x0=1 داریم:

 

X1=3x1-1=2   ,   X2=3x2-1=5   ,   X3=3x5-1=14    ,………

 

و با دنبال کردن  عمل ، دنباله زیر را خواهیم داشت که صعودی و واگرا است:

 

(xn)=1 , 2 , 5 , 14 , 41 , 122 , ….

 

  هر عدد دیگر را هم مقدار آغازی بگیریم ، باز دنباله ای واگرا به دست می آید . چنان که :

 

x0=0      =>   (xn)=0 , -1 , -4 , -13 , -40 , …….

 

x0=0.7  =>   (xn)=0 .7   , -3.1   , -10.3   ,……..

 

در حالت  x0=0.5 دنباله ای با تکرار همین جمله به دست می آید :

 

x0=0.5    =>   (xn)=0.5  ,  0.5   ,  0.5  ,……….

 

مثال2:همان معادله 2x-1=0را اگر به صورت x=(1/3)x+(1/3)  بنویسم ، با انتخاب x0=1، دنباله

 

(xn)=1 , 0.666…..  ,  0.555…  ,  0.5185…  ,  0.50617   ,  0.502205  ,  0.50068  ,  ……

 

به دست می آید که اگر به دست آوردن جمله ها را دنباله کنیم ، رقم های از مرتبه دوم به بعد ، پس از ممیز ، یکی یکی صفر می شوند که نشان می دهد دنباله همگرا و حد آن 0.5 است . اگر x0 را برابر با هر عدد دیگر غیر از 0.5 ، انتخاب کنیم ، باز هم دنباله ای همگرا و با حد 0.5 به دست می آید.

 

ادامه دارد.....


5:11یکشنبه هجدهم تیر 1385

روش از سرگیری یا روش تکرار(قسمت اول)

روزبه ابرازی

و کاربرد آن در بدست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله

 

امروزه روش از سر گیری یک ابزار نرم افزاری بسیار کارآمد در الگوریتم های کامپیوتری است و در برنامه نویسی ها برای کامپیوتر ، کاربرد بسیار گسترده ای دارد . در رابطه ها و معادله های ماتریسی نیز به کار می رود . اما پیش از اینها ، کار برد روش از سر گیری در به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه های معادلات بوده است ، معادله هایی که با روش های شناخته شده حل نمی شده اند . با روی کار آمدن ماشین حساب و کامپیوتر ها ، این کاربرد روش از سر گیری نیز گسترش یافته است . از دیدگاه تاریخی ، غیاث الدین جمشید کاشانی ، ریاضیدان بزرگ ایرانی سده نهم هجری ، نخستین کسی بوده که روش از سرگیری را برای حل معادله درجه سوم به کار برده است . او در اثر خود به نام «رساله در جیب و  وتر» از راه به کار بردن روش از سر گیری ، اندازه تقریبی ریشه معادله ای را که اکنون به صورت

 

3x-x3= 0.10467191…..