یک فرمول جالب برای شکل های هندسی
تصور این مطلب که بتوان با یک معادله ساده بازه وسیعی از شکل های هندسی را بدست آورد همیشه هیجان انگیز بوده. یک محقق یک چننین فرمولی را ارئه داده و ادعا کرده که چون بسیاری از شکل ها در طبیعت و حتی تمدن های بشری از تغییر دایره بدست می آید بنابراین ساخت این قبیل شکل ها می تواند در مدل سازی ساختارهای طبیعی و یافتن بینشی صحیح از علت رشد عناصر طبیعت با فرمی خاص کمک می کند.
ابتدا با معادله یک مجموعه از شکل ها شروع می کنیم که فوق بیضی نامیده می شوند.
با دادن مقادیر مناسب به a،b و n می توان دایره ، بیضی، مستطیل و سایر شکل های متقارن را بدست آورد.بعنوان مثال اگر a=b وn=2 باشد ، این فرمول یک بیضی را می سازد.
از روی این فرمول می توان فرمولی مشابه در دستگاه مختصات قطبی بدست آورد . به این صورت که به جایXوY مقادیرX=rcosq و Y=rsinq را جایگذاری کنیم. با این تغییر کوچک که برای بدست آوردن تقارن دورانی پارامتر زاویه ای m را به این فرمول اضافه می کنیم.حاصل کار فرمول زیر می شود.
زمانی که n1 = n2 = n3 = 2 و m = 4 این فرمول یک بیضی را تولید می کند و دایره حالت خاصی که وقتی a = b اتفاق می افتد.
با آزمایش مقادیر مختلف به شکل هایی می رسیم که یاد آور فرم های طبیعی هستند. شکل زبر تعدادی از این فرم ها را نشان می دهد.
از چپ به راست
Nuphar luteum petiole (a=b=1, m=3, n1=4.5, n2= n3=10),
Scrophularia nodosa stem (a=b=1, m=4, n1 =12, n2=n3=15),
Equisetum stem (a=b=1, m=7, n1=10, n2=n3=6),
raspberry (a=b=1, m=5, n1=n2=n3=4),
starfish (a=b=10, m=5, n1=2, n2=n1=7)
« برای ترسیم این فرم ها می توانید از نرم افزار Maple با کد زیر استفاده کنید.
m:=5;
n2:=7;
n3:=7;
n1:=2;
a:=100;
b:=100;
plot([(abs(cos(1/4*m*t)/a)^n2+abs(sin(1/4*m*t)/b)^n3)^(-1/n1),t,t=-Pi..Pi],coords=polar,thickness=2);
که بعنوان نمونه مقادیر فرم آخر برای پارامتر های فرمول جایگذاری شده»
این فرمول به ما اجازه می دهد تا سادگی و زیبایی خیلی از شکل های طبیعی درک کنیم که تنها در مقدار دهی به پارامترهای شان با هم متفاوتند.
کاهشی بزرگ در پیچیدگی شکل های طبعی و دیدی تازه نسبت به تقارن.
با مقدار دهی به پارامترهای فرمول میتوان بازه وسیعی از شکل های متفاوت را بدست آورد.
این محقق اعتقاد دارد که با این فرمول ارتباطی شگفت آور میان شکل های طبیعی پیدا میشود و ابزاری مهم در مقایسه و مطالعه شکل های طبیعی است.
برای ما فعلا مشخص نیست که آیا این فرمول پاسخ گوی تقارن و فرم های طبیعی است یا نه ولی لا اقل راه را .برای ورود تصاویر گرافیکی جدید باز می کند.
این تصاویر با استفاده از همین فرمول زمانی که a = b = 1 وm متغیر است و n = n1 = n2 = n3 از 1 (در بالا سمت چپ) تا 8 (در پایین سمت راست) تغییر می کند.
منابع:
پیوند به متن اصلی( Ivars Peterson's MathTrek، MAA.org )
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_05_05_03.html
توضیحات بیشتر راجع به فرمول فوق بیضی
http://mathworld.wolfram.com/Superellipse.html
سایر منابع:
http://www.amjbot.org/cgi/content/90/3/333
http://www.nature.com/nsu/030331/030331-3.html
