و کاربرد آن در بدست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله

امروزه روش از سر گیری یک ابزار نرم افزاری بسیار کارآمد در الگوریتم های کامپیوتری است و در برنامه نویسی ها برای کامپیوتر ، کاربرد بسیار گسترده ای دارد . در رابطه ها و معادله های ماتریسی نیز به کار می رود . اما پیش از اینها ، کار برد روش از سر گیری در به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه های معادلات بوده است ، معادله هایی که با روش های شناخته شده حل نمی شده اند . با روی کار آمدن ماشین حساب و کامپیوتر ها ، این کاربرد روش از سر گیری نیز گسترش یافته است . از دیدگاه تاریخی ، غیاث الدین جمشید کاشانی ، ریاضیدان بزرگ ایرانی سده نهم هجری ، نخستین کسی بوده که روش از سرگیری را برای حل معادله درجه سوم به کار برده است . او در اثر خود به نام «رساله در جیب و  وتر» از راه به کار بردن روش از سر گیری ، اندازه تقریبی ریشه معادله ای را که اکنون به صورت

3x-x³= 0.10467191…..

نوشته می شود و از روی آن ، مقدار سینوس یک درجه محاسبه می شود را تا 22 رقم بعد از ممیز به دست آورده است.

دنباله تقریب های یک عدد :

در ریاضیات کاربردی زیاد پیش می آید که باید یک عدد حقیقی را در یک محاسبه به کاربرد ، در حالی که دسترسی به اندازه واقعی آن عدد ممکن نیست ، مثلا عددی گنگ غیر جبری یا ریشه معادله های حل نشدنی باشد . در چنین فرآیند هایی ، به جای اندازه واقعی عدد ، اندازه تقریبی آن را به کار می برند . برای به دست آوردن اندازه تقریبی چنین عددهایی ، روش های گوناگونی هم نشان داده شده است .

در این روشها ، اگر بنا باشد اندازه تقریبی عدد حقیقی α بدست آید ، دنباله ای همگرا از عدد های حقیقی μ_n  (μ₀ , μ₁, μ₂,……. μ_k,μ_k+1) چنان تشکیل می شود که جمله هایش بیترتیب ، به اندازه واقعی α نزدیکتر شوند و سر انجام حد آن ، همان اندازه واقعی α باشد. این دنباله را دنباله تقریب های عدد α ، و در حالتی که α ریشه معادله داده شده f(x)=0 باشد ، دنباله تقریب های ریشه معادله f(x)=0 می نامند.

در دنباله تقریب های α ، نظیر هر عدد کوچک و داده شده ε ، جمله ای مانند μ_k وجود خواهد داشت که:

|α - μ_k|< ε

عدد μ_kبا این شرط را اندازه گیری تقریبی α با تقریب کمتر از  ε می نامند .

هر گاه در دنباله همگرای  μ_nهر چه باشد عدد طبیعی n داشته باشیم :

| μ_k+n - μ_k|< ε           , n=1,2,3,…

و چون حد μ_k+n نیز همان حد دنباله و برابر با α است و نتیجه می شود:

|α - μ_k|< ε

از این رو ، اگر در به دست آوردن جمله های یک دنباله همگرای μ_n  به جمله ای برسیم که تفاوت آن با جمله بعد و با جمله های پس از آن ، کوچکتر از ε باشد، آن جمله ، مقدار تقریبی α با تقریب کمتر از ε خواهد بود. برای نمونه ، در دنباله

 1.2  1.25  1.259  1.2599  1.25992  1.259921 ...........

که یک دنباله تقریب های ریشه معادله

X³-2=0

است ، می بینیم که جمله های از پنجم به بعد همه با جمله چهارم تا چهار رقم پس از ممیز مشترکند، یعنی تفاوت جمله چهارم با هر یک از جمله های پس از خودش ، از 0.0001 کوچکترند است. بنابر این ، عدد 1.2599 اندازه تقریبی ریشه سوم 2 با تقریب کمتر از 0.0001 است. دنباله تقریب های هر عدد حقیقی α یکتا نیست ، بنابر فرایندی که برای پدید آوردن دنباله می توان به کار برد و بنابر انتخاب جمله یکم μ₀ ، برای هر عدد α ، دنباله های زیادی را می توان تشکیل داد. از بین این دنباله ها و از آنها که همگرا باشند ، آن را باید برگزید که شتاب همگرایی آن بیشتر و نظیر هر ε ، محاسبه تعداد کمتری از جمله ها لازم باشد . به این نکته هم باید توجه داشت که یک دنباله با قانون معین هم ممکن است تنها آن گاه همگرا باشد که جمله یکم μ₀ از آن بیرون از فاصله معینی انتخاب نشده باشد.