متغیر ، تابع تغییرها ی خودش
روش های گوناگونی برای به دست آوردن اندازه تقریبی ریشه یک معادله f(x)=0 می توان به کاربرد ، تفاوت این روش ها در چگونگی فرآیندی است که هر کدام برای پدید آوردن دنباله تقریب ها به کار می برند. در روش از سر گیری ، معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) تبدیل می شود . این معادله رابطه ای است که در آن متغیر تابع تغییر های خودش است و برای هر مقدار آغازی x0که به جایx گذاشته شود ، یک دنباله
(xn)= x0 , x1 , x2 ,…….,xk , xk+1…..
را به دست می دهد که جمله هایش بترتیب برابرند با :
x1=g(x0) ,
x2=g(x1) ,
x3=g(x2) ,
.
.
.
xk=g(xk-1)
.
.
.
بنا بر مقدار x0و بنابر ساختار g(x) ، دنباله (xn) ممکن است همگرا ، واگرا یا تکرار جمله ثابت باشد. حالت اخیر (تکرار جمله ثابت)، هنگامی است که مقدار 0x ریشه معادله f(x)=0 باشد.
مثال1:معادله 2x-1=0 را اگر به صورت x=3x-1 بنویسیم ، در این صورت ، بجز 0.5که جواب معادله است ، هر عدد دیگر را مقدار آغازیx0 بگیریم ، دنباله ای واگرا به دست می آید . با مقدار آغازی x0=1 داریم:
X1=3x1-1=2 , X2=3x2-1=5 , X3=3x5-1=14 ,………
و با دنبال کردن عمل ، دنباله زیر را خواهیم داشت که صعودی و واگرا است:
(xn)=1 , 2 , 5 , 14 , 41 , 122 , ….
هر عدد دیگر را هم مقدار آغازی بگیریم ، باز دنباله ای واگرا به دست می آید . چنان که :
x0=0 => (xn)=0 , -1 , -4 , -13 , -40 , …….
x0=0.7 => (xn)=0 .7 , -3.1 , -10.3 ,……..
در حالت x0=0.5 دنباله ای با تکرار همین جمله به دست می آید :
x0=0.5 => (xn)=0.5 , 0.5 , 0.5 ,……….
مثال2:همان معادله 2x-1=0را اگر به صورت x=(1/3)x+(1/3) بنویسم ، با انتخاب x0=1، دنباله
(xn)=1 , 0.666….. , 0.555… , 0.5185… , 0.50617 , 0.502205 , 0.50068 , ……
به دست می آید که اگر به دست آوردن جمله ها را دنباله کنیم ، رقم های از مرتبه دوم به بعد ، پس از ممیز ، یکی یکی صفر می شوند که نشان می دهد دنباله همگرا و حد آن 0.5 است . اگر x0 را برابر با هر عدد دیگر غیر از 0.5 ، انتخاب کنیم ، باز هم دنباله ای همگرا و با حد 0.5 به دست می آید.
ادامه دارد.....
