بخش دوم مصاحبه با ایوان نیون (Ivan Niven)

بخش دوم مصاحبه با ایوان نیون (Ivan Niven):

برای پایان نامه تان یکی از آخرین گام ها در مسئله وارینگ را حل کردید.

 

مساله وارینگ: این مساله که صورتهای گوناگونی از آن وجود دارد ، در صورت اصلی خود حاوی این پرسش است که آیا متناظر با هر عدد صحیح مثبت k  عدد صحیح مثبتی چون g(k) وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح مثبت n مجموع حداکثر g(k)  تا توان k ام مثبت باشد. ساده ترین حالت مورد توجه ، این قضیه است که هر عدد صحیح مثبت را می توان به صورت مجموع حداکثر 4 مجذور نوشت. در 1909 دیوید هیلبرت(D. Hillbert) برای نخستین بار ثابت کرد چنین g(K) ای وجود دارد ولی برهان او چگونگی محاسبه g(k)  برای یک k مفروض را مشخص نمی کند.

 

نه، من آن را کمی پس از اخذ دکترایم، حل کردم. پابان نامه من مربوط به صورتی از مساله وارینگ با جمعوندهای متفاوت بود .آن قدر متفاوت بود که ناچار شدم برای حل مسائل ، قدری ابتکار به خرج دهم. بعداً ، پس از گرفتن دکترایم ، مساله ای را که ذکر کردید ( یکی از اخرین گامها در مساله وارینگ) پی گرفتم. کار من ، در اثر چهار جلدی «جهان ریاضیات» نوشته نیومن(Newman) ـ نام من در نمایه کتاب هست ـ در بخشی از مطالبی که اریک تمپل بل(Eric T. Bell) درباره همکاری بین المللی در ریاضیات نوشته است ، ذکر شده است. این امر باعث شده بود در اوایل زندگی حرفه ایم ، مورد توجه بسیار قرار گیرم. برای نمونه ، یک استاد حقوق توجه مرا به مرجع نیومن جلب کرد.

با این حساب مساله دیکسون راهی به مسایل دیگر گشود. بعضی از مسایل پایان نامه ها، بن بست اند. مساله را حل می کنید و دیگر مجالی برای حرکت ندارید.

صرف نظر از موردی که همین الان خاطر نشان کردم ، مساله پایان نامه برای من حکم بن بست داشت. با این حال ریاضیدانان باید دیر یا زود از محدوده پایان نامه هایشان ، خارج شوند . سالی که برای اخذ فوق دکترا با هانس رادماخر(Hans Rademacher) در پنسیلوانیا کار کردم کمک شایانی به من کرد.

پیش از آن که سراغ رادماخر و پنسیلوانیا برویم اجازه بدهید باز هم به دیکسون و شیکاگو بپردازیم.

دیکسون قبلاً متخصص جبر بود ، ولی زمانی که من در شیکاگو با او تماس داشتم ، دیگر به جبر نمی پرداخت : فقط روی نظریه اعداد کار می کرد. همان طور که قبلاً گفتم ، زندگی دیکسون از ریاضیات و بریج تشکیل شده بود. او در دوره بازنشستگی فعالیتی نداشت : همان دوره ای که از ریاضیات کنار گرفت تا مبادا کارنامه ای درخشان را با مقالات ضعیف تر ضایع کند ، "آن گونه که چند تن از دوستانم کرده اند")نقل قول از دیکسون) . دیکسون به خاطر کار ممتازش در ریاضیات ، از دانشگاه هاروارد در جشن سیصد مین سالگرد تاسیس این دانشگاه در سال 1936 ،ُ دکترای افتخاری دریافت کرد. از او پرسیدم آیا این بزرگترین افتخاری بوده است که نصیبش شده و او پاسخ داد نه ، بلکه افتخاری که بیش از هر چیز خشنودش ساخته سالها پیش از آن بوده است. درست پیش از هنگامی که می بایست مقاله ای در نشستی در پاریس ارایه می داد ، دیکسون جوان سرگرم نوشتن صورت نتیجه اساسی خود بر روی تخته سیاه بوده که یکی از ریاضیدانان بزرگ فرانسوی ، اگر درست به خاطر آورم ،کامیل ژوردن پای تخته می آید و می پرسد: « آیا اثباتش کرده ای؟» دیکسون جواب مثبت می دهد ، پیر مرد فرانسوی سری تکان میدهد و با حسرت می گوید: « خیلی سعی کردم اثباتش کنم ».

چه چیز سبب می شود نظریه اعداد تا این اندازه برایتان جالب باشد؟

چنین می اندیشم که برای خیلی ها ، و مطمئناً برای خودم ، برخی شاخه های ریاضی می توانسته اند جالب باشند. این شاخه برایم جالب بود چون دیکسون در آن زمینه کار می کرد. اگر به دانشگاه دیگری رفته بودم ممکن بود درس دیگری و استاد دیگری (جالب) باشد . زمانی که دانشجو بودم، آنالیز را دوست داشتم . از درسی که در توپولوژی می گذراندیم خوشم می آمد اما در آن زمان در شیکاگو امکان گرفتن دکتری توپولوژی  وجود نداشت . هنگامی که کار روی نظریه اعداد را آغاز کردم دلیل خاصی برای تغییر شاخه کاریم نداشتم . زمانی که در شیکاگو بودم ، این شهر یک مرکز بزرگ راه آهن بود. مسافرت تجاری هوایی در مرحله ابتدایی خود بود . دانشگاه شیکاگو به راحتی در دسترس بود . در آن دوده ، در هر بهار ، جامعه  ریاضی آمریکا نشستی در آنجا برگزار می کرد. سخنرانیهای مدرسان ممتاز بسیاری را شنیدم ،هاردی ، کراتئودوری(C. Carathéodory) ، امیل آرتین (Emil Artin)، نوربرت وینر(Norbert Wiener) ، ساوندرزمک لین(Saunders Mclane) ، تیبور رادو(Tibor RadÓ) ،بنگت اشترومگرن(Bengt Stromgren) از دانمارک ، وی جایاداگاوان(Vijayaraghavan) از هند ، و هورویج(W. Hurewicz) ، که به خاطر نظریه بعدش مشهور است ، در زمره آنها بودند . ارل ریموند هدریک(Earle Raymond Hedrick) از شهر دیدن کرد و جی. بیلی. پرایس(G. Baley Price) و ای.اس. هاوس هولدر(A. S. Householder) در تابستان برای دوره های متمادی ، اساتید میهمان بودند.محیط بسیار خوبی بود که تنها پرینستون و ام. ای تی. از آن بهتر بودند. شاید من عوض شده ام ، ولی به نظرم بحثها در آن زمان ، جامعتر از بحثهای امروزی بودند . شاید به دلیل آن که ریاضیات پیشرفت کرده و مجرّد تر شده است. امروز مشکلتر می توانید آنچه را درباره اش صحبت می کنید ، به دیگران حالی کنید ولی آن وقتها به نظر من بحثها را با توجه به نوعی مبنای 20-20-20 ارایه می دادند . 20 دقیقه یا یک سوم زمان را به ارایه زمینه کلی بحث اختصاص می دادند بعد در حدود 20 دقیقه برای متخصصان آن حوزه بحث می کردند و سپس در 20 دقیقه آخر در مورد کار خودشان سخن می گفتند ، در آن لحظه گاه به نظر می رسید تنها با خدا و خودشان حرف می زنند. اما امروزه شما فقط یک سوم آخر را می بینید. گاهی هم دو سوم آخر را می بینید ، ولی این دوره دیگر کسی اصلاً هوای مخاطبین عادی را ندارد ، البته به استثنای بعضی سخنرانان مانند پال هالموس (P. Halmos)، پیتر هیلتن(Peter Hilton) ، پیتر لکس(P. Lax) ، ساوندرزمک لین و برخی دیگر.

آیا این سخنرانان میهمان ، دستور العمل های خود را از بلیس دریافت می کردند؟

او سمینار را اداره می کرد. از این که تمام برنامه ها را او ترتیب می داد یا نه ، اطلاعی ندارم ، ولی تصور می کنم به سخنرانان میهمان کاملاً می فهماند که به دلیل وجود مخاطبان بسیار گسترده ، باید در ابتدای کار تا حدی شرح واضحی از موضوع ارایه دهند . اگر این کار انجام نمی شد ، بلیس واقعاً در همان پنج دقیقه اول  بیدرنگ از سخنران چند سئوال می پرسید . هنوز می توانم گفته اش را به خاطر آورم «صبر کنید ، همین حالا هم منظورتان را نمی فهمم » ، با وجود محیط نسبتاً رسمی ،بلیس کاملاً صریح سخن می گفت . بلیس شخصیتی ممتاز ، عضو فرهنگستان ملی و مدیر گروه بود می توانست کار را با موفقیت به انجام برساند . در آن زمان مدیران گروهها ،شخصیتهایی مستبد بودند . پشتکار او ، برای دانشجویان فوق لیسانس موهبت بزرگی بود .

در آن دوره از میان ریاضدانانی که سخننرانیهایشان را شنیده بودید کدامیک شورانگیز ترین سخنرانی را ارایه کرده بود؟

به نظر من ساوندرزمک لین یا امیل آرتین . انتخاب بین این دو ، کار مشکلی است.

سخنرانیهای آنها به گونه ای بود که هنگام ترک جلسه ، احساس می کردید هر آنچه را که گفته اند فهمیده اید . البته اگر سعی می کردید از جزئیات بویژه در آخرین بخش سر در آورید ، در می یافتید برخلاف آنچه  تصور کردهاید مطلب را خیلی هم متوجه نشده اید.

گاهی پس از شنیدن سخنرانیهای پل هالموس چنین احساسی به من دست می دهد.

برای من هم همین طور است. به این علت نام هالموس را ذکر نکردم را ذکر نکردم که در آن زمان هنوز سخنران مشهوری نبود .دکترایش را در 1938 گرفت ، سالی که من هم دکترا گرفتم.

بخش اول مصاحبه با ایوان نیون (Ivan Niven):

بخش اول مصاحبه با ایوان نیون (Ivan Niven):

اگر مقاله مسئله وارینگ را خوانده اید توصیه می کنم حتما این مصاحبه را در تکمیل آن مطلب مطالعه کنید البته عکس این توصیه هم امکان پذیر است!.البته این مطلب در دو بخش اریه می شود که امیدوارم با خواندن بخش اول مصاحبه به خواندن بخش دوم آن هم راغب شوید.این مصاحبه سعی دارد تا پرده از تفکرات یکی از ریاضیدانانی که آخرین گام ها را در اثبات این فرض برداشته بردارد .مصاحبه کامل با این ریاضیدان بهمراه دانلند کنوث،پاول اردیش ، ریچارد گای ، رابین ویلسون ،لیمپمن برز را میتوانید از کتاب " چگونه ریاضی دان شدم " ،انتشارت مبتکران مطالعه کنید .البته قبلا هم از این کتاب نوشته بودم و در آینده هم  متناسب با مطالب ارائه شده این کار را خواهم کرد.

 

 

مدرس نامی ریاضیات ایوان نیون ، متولد 25 اکتبر سال 1915در ونکوور کانادا، نظریه اعداد پردازی برجسته است که اساسا در حوزه های تقریب های دیوفانتی و مسایل مربوط به گنگ و متعالی بودن اعداد به کار پرداخته است. به عنوان رئیس انجمن ریاضی آمریکا(Mathematic Association of America)و یکی از اعضای شورای جامعه ریاضی امریکا(American Mathematic society) خدمت کرده است و در سال 1989 جایزه انجمن ریاضی امریکا را برای خدمات برجسته به ریاضیات دریافت کرده است .

 

با توجه به آنچه تا اینجا درباره دیکسون گفته اید، زمانی که مسئله دکترایتان را به شما داد ، حتما برایتان بسیار سخت بوده است.بی تردید در ابتدای کار ، گیر کردید. با این حساب بر روی آن کار کردید؟

هر ابزار و ایده ای را می دانستم و تلفیق آنها را آزمودم.مقالات موجود اثر ریاضی دان هندی اس اس پیلای (S. S. Pillai) را ، که همزمان با دیکسون و به طور مستقل مسئله وارینگ را حل کرده بود ، مطالعه کردم. کار آنها بر مبنای تخمین های تحلیلی آی ام.وینوگرادوف(I. M. Vinogradov) ریاضیدان روسی بود که به مراتب بهتر از استدلال های هاردی لیتلوود (Hardy Littlewood) بودند.من هم طبیعتاً نتایج وینوگرادوف را مرور کردم تا ببینم آیا دیکسون و پیلای از تمام امکانات موجود در نتایج حاصل ، استفاده کرده بودند یا نه پاسخ مثبت بود. پس دیگر چیز جدیدی نمانده بود که دریابم. به هر حال از پس حل مسئله هایی که دیکسون داده بود ، بر آمدم . اجازه بدهید در مورد آنکه چگونه مسائل ریاضی را حل میکنیم ، قدری بیشتر توضیح دهم ، همان طور که می دانید ،در ریاضیات مسئله مهم ، یافتن مسائل مناسب برای حل و فراتر از آن آفرینش نظریه ای جدید است . ژاک آدامار( Jacques Hadamard) در کتابش به نام «روانشناسی ابداع در حوزه ریاضیات » در صدد توضیح این موارد مهم است .آدامار صلاحیت نوشتن در مورد چنینی موضوعی را دارا بود ، چه او و شارل دولا واله پوسین((Charles de la Valleépoussin،نخستین کسانی بودند که –مستقل از هم- قضیه مشهور اعداد اول را ثابت کردند.

 

قضیه اعداد اول:یکی از دستاوردهای بزرگ نظریه اعداد در اواخر قرن نوزدهم ، یافتن برهانی بر این قضیه است که تخمینی از چگونگی توزیع اعداد اول در دنباله اعداد صحیح مثبت را به دست میدهد . مطابق این قضیه ، اگر (x)П تعداد اعداد اول کوچکتر از x باشد ، آنگاه :

 

 

گاوس این قضیه را حدس زده بود ، ولی درستی آن را اثبات نکرده بود . برای اثبات این قضیه باید ایده های جدیدی عرضه می شدند ،  پس کار براستی خلاقانه بود. بسیاری از مقالات ریاضی اقتباس اند ، به این معنا که هیچ ایده جدیدی در آنها معرفی نشده است. قصد من بدگویی از این مقالات نیست ، ایده های شناخته شده را باید به روش های بدیع ، اقتباس و تلفیق کرد و این کار آسانی نیست.

آدامار، مانند هر کس دیگری شرایط لازم و نه کافی برای خلاقیت ریاضی را ارایه میدهد . مثل زیست شناس بزرگ لویی پاستور ، که می گفت شانس به ذهن آماده روی خوش نشان میدهد.

در ضمن، در پایان تحصیلاتم در شیکاگو ، آغاز برخورد با اشخاصی از دانشگاهای دیگر مثل پرینستون بود ، که افتخار می کردند در آنجا مسئله ای به آنان واگذاری نمی شود بلکه آنها باید خود مسائل شان را پیدا می کردند ، خب فکر می کردم این از ما بهتران ،سیستم شیک تر و پیشرفته تری دارند.بعدا که بیشتر و بیشتر با این جماعت به صحبت نشستم ، دریافتم که آنها در واقع مسئله ای کشف نمی کردند.در اکثر موارد ، این مسئله چیزی بود که استاد آن را در کلاس درس (به اصطلاح) پرانده بود . آنها هم مسئله را بر می داشتند و بعد درباره آن با استاد بحث می کردند .از همه اینها گذشته ، یک دانشجو در آن مرحله ، در حدی نیست که در مورد مسئله ای تصمیم بگیرد . می توانید مسئله ای را پیدا کنید ، اما از کجا میدانید که قبلا در نوشته های ریاضی حل نشده است؟

علت حضور استاد هم همین است ، استاد آثار ریاضی را بسیار بسیار خوب می شناسد .در کتاب «جماعت ریاضی»(Mathematical People)، اولگا تاوسکی-تاد(Olga Tauessky Todd) از وین و از اینکه استادش گفت:«خب، ما روی نظریه رده ای میدان کار می کنیم»سخن می گوید نظریه ای که در آن زمان ، تازه در آغاز  راه بود. بنابراین هر چه می توانست مطالعه کرد در حالی که چیز زیادی هم برای خواندن وجود نداشت . از آنجا که نمی توانست مسئله ای بیابد ، روز به روز درمانده تر می شد .دوران سختی را گذراند و تصور می کنم برایش به قیمت یک سال تمام شد. این امر آنقدر  مهم نبود که او را یک سال پیر تر کند. یک سال از لحاظ مالی بسیار مهم است.من دکترایم را در سال 1938 گرفتم که اوضاع مالی خراب بود. هنگامی که دوره دکترا را به پایان بردم، وضع از این قرار بود: آخرین دلارم را هم خرج کرده بودم.

فقط محض اطلاع خوانند گان ، لطفاً بگویید کمک هزینه های تحصیلی در آن زمان چقدر بود؟

در ابتدا 600 دلار و بعدا 700 دلار بود ، ولی در دانشگاه شیکاگو 300 دلار آن را بابت شهریه دانشگاه بر می گرداندند. بنابراین عملا 300،400 دلار در سال می گرفتم که تقریبا معادل 3000تا 4000 دلار فعلی است. اصلا نمی خواستم کافه تریا یا جایی مانند آن کار کنم . پدرم گرچه هرگز به دانشگاه نرفته بود ، اما قبول نداشت که باید تن به چنینی کار هایی داد. او به راستی نمی دانست که دانشگاه چگونه جایی است . ولی می گفت « این کار یک تمام وقت است، مگر نه؟» به او گفتم باید برای هر ساعت کلاس ، دو ساعت خارج از کلاس کار کنیم.او گفت :« خوب ،تو 15 ،16 ساعت کلاس بر می داری که با کار خارج کلاس روی هم  48 ساعت می شود . مطمئن باش هفته کاری خوبی است. خب فکر نمی کنم مجبور باشی کاری غیر از این انجام دهی»او از ما می خواست تابستان کار کنیم تا به وضع مالی دوره تحصیلمان کمک کنیم ولی نمی خواست در خلال سال تحصیلی مشغول کار شویم .

آخرین مطلب در مورد پایان نامه شما ،دیکسون(L. E. Dickson) این مساله آزمایشی را به شما داد تا دریابد شما را به عنوان دانشجویش بپذیرد یا نه ، و شما کاملاً اطمینان داشتید که او قبلاً با موفقیت روی مساله کار کرده است.

 او به من این طور گفت .

خوب ، این به یک پرسش بدیهی می انجامد که آیا فکر می کنید او روی تعداد زیادی از مسایل پایان نامه که ارایه می داد با موفقیت کار کرده بود؟

 

نمی دانم . ولی می دانم که بعد ها هنگامی  که خودم مسایل پایان نامه را ارایه می دادم ، قدری روند کار را بررسی می کردم تا دریابم می توان آنها را حل کرد یا نه .