تولد یک سالگی

سَبِّحِ اسْمَ رَبِّكَ الْأَعْلَى

 

 "باید بگم که آنقدر بهم انرژی دادید که تا ۱۰۰ سال دیگه هم این وبلاگ بروز بشه البته یک تشکر مخصوص خدمت آقای عبدالحمید پهلوزاده  دارم که ما رو شرمنده کردن

ضمنا compphilo عزیز ما هم کوچیک شماییم  به نظراتی که دادی حتما فکر میکنم و جواب میدم حتما هفته بعد روز یکشنبه یا دوشنبه یه سری بزن.

بازم از همه دوستان عزیز که حق پیشکسوتی و معلمی برای ما دارن تشکر می کنم."

 

 

عَلَّمَ الْإِنسَانَ مَا لَمْ يَعْلَمْ﴿5﴾  كَلاَّ إِنَّ الْإِنسَانَ لَيَطْغَى﴿6﴾

  

سلام خوش آمدید زحمت کشیدید صفا آوردید.

  

یک سال گذشت . یک سال این وبلاگ رو تحمل کردید. دستتون درد نکنه . این رو برای تعارف نمی گم ولی روز اول فکر میکردم خیلی حرف برای گفتن دارم اما کم کم که گذشت و  اومدم حاصل اندیشه های شما رو خواندم فهمیدم که باید چند برابر اونی که می خوام براتون بنویسم ازتون یاد بگیرم .

 

انشاالله تو این راهی رو که شروع کردیم با کمک آقا شهریار بهتر بتونیم حرکت کنیم .

 

ما مثل بقیه جایزه و این جور چیز ها نداریم خیالتون راحت! بنابراین به جاش  سعی میکنم تا مهر ماه  PDF تمام مقالات مفید رو  که خودتون هم بیشتر نسبت بهشون لطف داشتید بزارم تو وبلاگ .

 

اینم فال حافظ البته از نوع رایانه ایش که به مناسبت این روز عزیز گرفتم:

 

  روی تو کس نديد و هزارت رقيب هست

 

                           در غنچه‌ای هنوز و صدت عندليب هست

 

گر آمدم به کوی تو چندان غريب نيست

 

                              چون من در آن ديار هزاران غريب هست

 

در عشق خانقاه و خرابات فرق نيست

 

                                هر جا که هست پرتو روی حبيب هست

 

آن جا که کار صومعه را جلوه می‌دهند

 

                             ناقوس دير راهب و نام صليب هست

 

عاشق که شد که يار به حالش نظر نکرد

 

                                      ای خواجه درد نيست و گرنه طبيب هست

 

فریاد حافظ این همه آخر به هرزه نيست

 

                                      هم قصه‌ای غريب و حدیثی عجیب هست

 

  خواندن چند سطر بعدی توصیه نمیشه(فارنهايت 31.5)

  

می دونم که متن های ما هیچ موقع نمی تونه توقع شما اهالی محترم ریاضی رو بر آورده کنه یا به قول این دوستمون compphilo (که اگر راجع به اسم مستعارشون هم به من بی سواد یه کم توضیح بدن بد نیست)" آب در كوزه و ما گرد جهان مي گرديم" ، ما نسبت به متون ايراني اسلامي خومون خيلي بي توجهي مي كنيم.من خودم شخصا عرض کنم که از ملاصدرا فقط اینو می دونم که صبح ها با تاکسی از جلوی بنیادش رد میشم !! ولی خدا می دونه که ما هیچ موقع راه رو نشون ندادیم در ظاهر خیلی  برای کارای فیلسوف و ریاضیدان ایرانی ارزش قائل می شیم ولی تو عمل با رفتار روشنفکران غربی کلاس می زاریم. من آدم پژوهشگر واقعی کم دیدم اینجا اکثرا می خوان فقط ادامه تحصیل بدن برای اینکه ادامه تحصیل داده باشن یا برای شخصیت اجتماعی .(ببخشید ببخشید این عقیده منه شاید دیدم اندازه دریچه کوچک دوتا دانشگاه و یه دبیرستان باشه )

 

  از شما می پرسم واقعا سیستم آموزشی دوره شکوفایی فلسفه و ریاضی و معماری ایران این جوری بوده یا این یه سیستم کپی شده از تمدن غرب .(نمی گم غرب بد یا خوب ولی آدم لباس و کلاس میبینه باید تلاش و زحمت رو هم کنارش ببینه )آیا قدیم مدرک میشناختن یا تایید چهار تا عالم با سابقه رو .آیا قدیم ملت رو برای یادگرفتن این همه فیلتر می کردن یا هر کی می شست پای بحث  هر کسی که دوست داشت اگر راضی می شد ادامه می داد اگر نه هم یک استاد دیگه رو انتخاب می کرد.

  

حالا هم تا می خوای حرف بزنی و یکم از لااقل تاریخت دفاع کنی یکی با چماق میزنه توی سرت و  میگه مگه این همه تکنولوژی و ثروت نمی بینی؟! . عزیزم می بینم ولی کنارش ایدئولوژی هم می بینم . شما فکر نمی کنید اگر ایرانی به سبک ایرانی تحصیل علم کنه زودتر میتونه عقب افتادگی 600 یا 500 سالش رو جبران کنه .

 

نشون به اون نشونی که وقتی خبر درمان ضایعه نخایی شد از سایت های اجنبی هم  خبری نشد ولی تا گوساله شبیه سازی شده 5 دقیقه ای مرد آقا تیتر میزنه "قبل از گذاشتن اسم مرد ".تمدن اینه!

  

توجه: اگر لینک نظرات باز نشد از این لینک استفاده کنید:

 

http://commenting.blogfa.com/?blogid=amath&postid=41&timezone=12642

پله پله تا ملاقات بعد چهارم / داستان 3بعدستان

حرکت از بعد سوم به بعد چهارم

 

قبل از اینکه شروع کنم اول جواب این دوستمون رو بدم که گفته:

compphilo: شايد بشه گفت كه بعد چهارم از كشيدن هر ضلع مكعب به درون و عمق خود ضلع پديد مي آيد. مانند يك ستاره در حال انفجار كه بعد از انفجارش به عمق خودش ريزش ميكند .

 

اگر منظورتون از عمق این چیزی باشه که من فهمیدم باید بگم : 

گرچه این یکی از سه طریقی بود که در مقاله این پست ازش نام بردیم ولی این کار در واقع ترکیب همین سه بعد خودمون و مشکل ما رو حل نمیکنه فقط یکم کمک به درک موضوع میکنه.

 

از باقی دوستانم می خوام که حتما نظرات خودشون  راجع به چگونگی تصور بعد 4 ام بدن.و اما اصل مطلب.....

 

****

 

تو دنیای ما یک آقایی بود به نام باب (Bob). این باب ما که قراره باب درک بعد بعدی هم باشه یک آدم معمولی با دو پا ، دو چشم ، یک مغز و همه اعضای طبیعی بدن بود.تنها فرقش فقط یک ذهن جستجوگر خلاق بود.دیدی که باب از دنیا داره یک دید دو بعدی یعنی یک بعد بیشتر از فرد .عکس سیاه و سفید باب هم اکنون موجود است و شما می توانید زاویه دیدش را هم ببینید.

 

 

باب در خانه اش و زاویه دید باب

 

از آنجا که باب یک بعد بیشتر از فرد دارد طبیعتاً سیستم نگارشی پیشرفته تری هم دارد در این سیستم به جای یک خط  مطلب میتونه چند خط مطلب نوشته بشه .این امر به او اجازه می دهد تا اطلاعات بیشتری را در یک کتاب ذخیره کند.این هم یک صفحه از کتاب فرد .

 

در این کتاب می خوانید:بابا اینقدر غیب نگو برو سر اصل مطلب!

 

روشنه که باب مفهوم مکعب را می فهمید . یک مکعب تشکل شده از یک سری مربع ها که از  سطح زیر و رو به هم چسبده اند و هر نقطه سطح این مربع ها با هر نقطه مربع بالایی در تماس است ، همچنین هر نقطه سطح پایینی این مربع ها با هر نقطه سطح  بالایی مربع پایینی در تماس است.این نکته واضح را می توانید  در تصویر ببینید.

 

 

مربع های همسایه

 

باب مفهوم کره را هم می فهمد .کره یک سری دایره هم مرکز است که از بالا و پایین به هم چسبده اند و  شبیه مربع های مکعب ، هر نقطه از این دایره ها با نقاط دایره های مجاورش در تماس است به همین صورتی که تصویر میگه :

 

دایره های همسایه

 

اما در درک 4.فوق مکعب یا همان تترا مکعب (همون مکعب تو دنیای 4 بعدی) مشکل زیاد داره .بعد از کلی فکر کردن تازه این بهترین تصورش از تترا مکعب است.

 

تصور باب از چهار فوق مکعب(جماعت یه دنیا فرقه بین .....)

 

 

پس این تترا مکعب چیه ؟ تترا مکعب در واقع دنباله ای از مکعب هاست که هر قسمت از این مکعب ها (منظورم تمام قسمت های داخلی هم است )با تمام قسمتهای مکعب های راست و چپ خود در تماس است ( نه مثل اینکه اشتباه شد مکعب های بالا و پایین یا شاید هم جلو  و عقبش!). در واقع جهت مکعب همسایه  در دنیای 3 بعدی خودمان و با استفاده از این  جهت های 3بعدی قابل تصور نیست . پس ما یکی از جهت های جدید فضای 4 بعدی را که مربوط به مکعب بعدی نسبت به مکعب فعلی است ، آپسیلون(Upsilon) و جهت مکعب قبلی را نسبت به مکعب فعلی دلتا (Delta) اسم گذاری میکنیم.

 

ببینید اگر باب به فضایی که فرد در اون قرار دارد نگاه کند دو سمت و پهلو برای آن تشخیص می دهد . باب  می تواند هم از سمت پایین و هم از سمت بالا به دنیای صفحه ای فرد نگاه کند و برای اینکه به طرف دیگر برود نا چار است که از دنیای دو بعدی او عبور کند .پس دنیای دو بعدی فرد دنیای 3 بعدی ما را به 2 قسمت جدا  تقسیم می کند . به همین ترتیب یک شخصیت 4 بعدی ( اجازه بدهید که ایشان را امیلی Emily بنامیم حالا علت اینکه چرا شخصیت 4 بعدی خانم شد دیگه اینو خودتون بگید!) وقتی به فضای باب نگاه می کند ، خودش را در یک طرف دنیای 3 بعدی ما می بیند پس امیلی مجبور است برای اینکه بتواند به طرف دیگه ی فضای 4 بعدی خودش برود  از فضای 3بعدی ما و باب عبور کند.خلاصه فضای 3 بعدی ما دنیای 4 بعدی را دو قسمت کرده است.

 

در زیر ، اولین تصویر مربوط است به گذشتن یک فلش از یک طرف دنیای 2 بعدی فرد به طرف دیگر .اگر این فلش یک شی باشد فرد تنها یک نقطه کوچک را خواهد دید  و در تصویر دوم یک فلش 4 بعدی از یک طرف دنیای ما به طرف دیگر آن در حال گذشتن است ، حاصل این برخورد هم تنها یک نقطه کوچک است ، باب هم مثل ما نتوانست قسمت های دیگر فلش را ببیند.

 

 

عبور فلش از صفحه فرد و عبور فلش 4بعدی از سوی آپسیلون به طرف دلتا

 

بالاخره یک روز که باب در خانه و مشغول خواند وبلاگ ریاضی کاربردی بود ناگهان متوجه شد که کره ای در وسط هوای اتاق ظاهر شد و به سرعت شروع به بزرگ شدن کرد سپس رشد آن آرام و متوقف شد و بعد به سرعت شروع به کوچک شدن کرد تا اینکه به کلی نا پدید شد . باب فقط شاهد عبور یک تترا کره (کره 4 بعدی) از فضای سه بعدی بود.

عبور ناگهانی موشک حزب ا.... ببخشید کره 4 بعدی از وسط خانه باب

 

امیدوارم بر خلاف دفعه پیش که به غیر از شیرین خانم(Hi Stars )یکی دو نفری دیگر هم  پیدا بشه این متن رو تا آخر بخونه!!

 

منبع:

http://tetraspace.alkaline.org/page2.htm

اعجوبه روسی انقلابی در علم توپولوژی پدید آورد

سلام دوستان بزرگوار.خبر خوشحال کننده ای برای همه ریاضی دوستان در سرتاسر جهان طی یکی دوروز گذشته منتشر شده است...

نابغه روسی دکتر گریگوری پرلمن سرانجام موفق شد  حدس ریاضی دان بزرگ فرانسوی،جولز هنری پن کاره را پس از یک قرن تلاش جامعه ریاضی دنیا به اثبات برساند.حدس جولز هنری که حتی تصور آن برای ریاضی دانان نیز بسیار مشکل است  درباره شکل احتمالی کائنات می باشد.

سه سال پیش گریگوری پرلمن معروف به "گریشا" ریاضی دان روسی در سن پیترزبورگ ادعا کرد که مساله معروف و رام نشدنی ریاضی ،معروف به حدس پن کاره را حل کرده است. وی پس از قرار دادن چند مقاله کوتاه در اینترنت و چند سخنرانی اجمالی در دانشگاه های آمریکا او به طور غیر منتظره در بهار 2003 به وطنش بازگشت.اما نکته جالب این است که اکنون همه دنبال پرلمن هستند ،چرا که قرار است 3شنبه آینده(22 آگوست) جایزه فیلد(field)که به نوعی نوبل ریاضیات محسوب می شود را دریافت کند.

از سال 2002وبا یافتن پاسخ " حدس پن کاره " توسط پرلمن  ، مساله ای که باهوش ترین نوابغ ریاضی دنیا را از یک قرن پیش تاکنون  به چالش گرفته بود و  همه عالم ریاضیات را شگفت زده کرد،هیچ کس تاکنون نتوانسته است ایرادی به اثبات نابغه روسی وارد کند و شرایط روز به روز برای رسیدن ریاضی دانان جهان به وفاقی جمعی در مورد حل آن به بهترین نحو تغییر کرده است، تا جایی که اکنون همگان بزرگترین جایزه ریاضی را حق مسلم  او می دانند.جامعه ریاضی دنیا اقدام گریگوری را انقلابی در علم توپولوژی می دانند.اما نکته ای که همه را متعجب کرده این است که پرلمن اعلام کرده است که مدال فیلد و نیز جایزه 1 میلیون دلاری که توسط موسسه خصوصی آمریکایی تحقیقات در ریاضی"کلی"برای این حل این مساله در نظر گرفته شده است را رد خواهد کرد.مسکو نیوز اقدام پرلمن را غیر عادی و خلاف عرف بیان کرد و از این لحاظ  شخصیت او را با "جان نش"ریاضی دان خوش قریحه آمریکایی که سرگذشت زندگی او در فیلم یک ذهن زیبا به تصویر کشیده شد مقایسه کرده است.پرلمن عنوان کرده است حل کردن مساله خود جایزه بزرگی برای او بوده است و او نیازی به جوایز دیگر ندارد.مدال های جشنواره فیلد که هر 4 سال یکبار توسط کمیته اجرایی اتحادیه جهانی ریاضی در دانشگاه پرینستون آمریکا اعطا می شود،طبق قوانینی فقط به ریاضی دانانی که در سال اهدای جایزه کمتر از 40 سال سن دارند داده می شود و از آنجایی که در ماه ژوئن امسال پرلمن وارد 40 امین بهار عمر خویش شده است ،قطعا این آخرین فرصت او برای دریافت مدال فیلد است،جایزه ای که معادل جایزه نوبل درریاضی می باشد.!!!!!!!

در همین راستا اظهارات سخنگوی موسسه خصوصی کلی((Clay که سال گذشته 1 میلیون دلار را برای هر یک از 7 مساله موسوم به "مسائل هزاره"در نظر گرفته بود چنین است:" هنوز دو سال برای بررسی کار دکتر پرلمن زمان لازم است.اما او احتمالا این جایزه را دریافت خواهد کرد.اما اگر او واقعا" این پول را رد کند آن گاه اوضاع پیچیده و غیر قابل باور خواهد شد."

دکتر پیرلمن در سال 1976 میلادی در سن پیترزبورگ مهم ترین بندر اتحادیه جماهیر شوروی (روسیه فعلی) به دنیا آمد.از همان ابتدا به عنوان یک پسر نابغه وارد مدرسه ای شد که به ریاضی و فیزیک اختصاص داشت .در سن 16 سالگی  یعنی در سال 1982 مدال طلای المپیاد جهانی ریاضی را با کسب نمره کامل از آن خود کرد.او پیش از حل مساله مشهور خود یکبار دیگر نیز جایزه ای را که در یکی از جشواره های معتبر ریاضی دنیا از آن او شده بود ،به دلیل صالح ندانستن کمیته داوری مسابقات رد کرد.

واما حدس پن کاره چیست؟ در سال 1904 پن کاره ریاضی دان معروف فرانسوی با نوشتن مقاله ای حدسی را ارائه کرد که در آن شکل کلی کائنات را با  شرح رابطه میان اشکال ،فضاها و سطوح مطرح شده بود.برا ی جزئیات این حدس که به طور گسترده ای با مباحثی از هندسه منیفلد ارتباط دارد و به همین دلیل از آوردن آن در این مقاله خودداری شده ،  می توانید به سایت mathworld مراجعه نمائید(لینک مربوطه در پایین صفحه گذاشته شده است).

در پایان امید است که ریاضی دانان ایران نیز روزی در تولید این علم شیرین  همچون نیاکان خود خیام و خواجه نصیر الدین طوسی در عرصه جهانی نقشی ایفا کنند.!!!!!!

 

منابع استفاده شده و لینک های مربوطه:

1)http://www.mosnews.com/news/2006/08/16/perelman.shtml

2)http://www.guardian.co.uk/science/story/0,,1851093,00.html?gusrc=rss&feed=18

3)http://www.telegraph.co.uk/news/main.jhtml?xml=/news/2006/08/17/wmaths17.xml

4) http://normblog.typepad.com/normblog/2006/08/perelmans_proof.html

5)http://www.indiadaily.com/breaking_news/77619.asp

 

   6)شرح قضیه پن کاره

 

 

پیدا کردن اعداد به صورت رندم

◙با سلام خدمت ریاضی دوستان عزیز و بزرگوار همون تر که شاید فهمیده باشید از دیروز وبلاگ ریاضی کاربردی دوتا نویسنده پیدا کرده...همین جا لازمه که از دوست عزیزم آقای روزبه ابرازی کمال تشکر رو داشته باشم.امیدواریم ما عاشقان ریاضی بتونیم با کمک یکدیگه  محیطی صمیمی و پربار رو از لحاظ علمی براتون رقم بزنیم.

امروز قصد دارم راجب علم آمار و احتمال براتون صحبت کنم. یکی از ابزارهایی که موقع مطالعه علم آمارواحتمال به کمک هممون میاد وخیلی وقتا بهش نیاز داریم پیدا کردن اعداد رندمه،یعنی اعدادی که انتخاب اونا کاملا به شکل تصادفیه و برای انتخاب عدد بعدی هیچ گونه اطلاعات قبلی در کار ما دخیل نیست. همه ماها میتونیم با گفتن چند عدد به صورت تصادف و نوشتن آن ها بروی کاغذ دنباله ای از اعداد رندم بسازیم.این عمل را شاید بار های بار در مسابقات مختلف برنامه های تلویزیونی  دیده ایم .اما اگر تعداد اعداد رندم مورد نیاز زیاد باشند دیگر شاید نتوان از این متد استفاده کرد،چرا که نیازمند صرف وقت و دقت زیاده!!!!!!!

با شروع قرن بیستم نیاز بشر به پیدا کردن متد های نوین برای یافتن اعداد رندم روز افزون گشت.در سال 1927،L.H.C.Tippett  لیستی حاوی 41600 عدد که از نتایج حاصل از یک سرشماری وبه صورت رندم  بدست آمده بودند را به چاپ رساند.شرکت رند(RAND) در سال  1955 جدولی حاوی یک میلیون عدد رندم را که از روی پارازیت الکترونیکی تولید شده بودند را در خدمت جامعه ریاضی قرار داد.با گسترش و پیشرفت کامپیوتر های پرسرعت پیدا کردن اعداد رندم بیش از پیش به مقوله ای به مراتب آسان تر برای ریاضی دانان تبدیل شد. در اواخر دهه چهل میلادی جان ون نیومن متدی را برای یافتن اعداد رندم ارائه کرد:

٭فرض کنیم می خواهیم دنباله ای از اعداد رندم 4 رقمی بسازیم.یک عدد دلخواه 4 رقمی را انتخاب کنید مثلا 6235.مربع این عدد را که برابر 38875225 است را در نظر می گیریم.حال 4 رقم میانی عدد دوم را که در مثال ذکر شده برابر 8752 را به عنوان رندم دوم انتخاب و الگوریتم ذکر شده را روی آن دو مرتبه اعمال می کنیم و بدین ترتیب با تکرار این عملات به دنباله ای از اعداد رندم 4 رقمی دست میابیم.

متدهای جدید برای پیدا کردن اعداد رندم با استفاده از مفهوم حساب پیمانه ای در نظریه اعداد مقدماتی شکل گرفته اند.اگر a یک عدد صحیح باشد و m  عدد صحیح مثبتی باشد منظورمان از نماد a(mod m)، باقی مانده تقسیم عدد  a بر عدد m می باشد،مثلا 10(mod 4)=2.برای بدست آوردن دنباله رندمی از اعداد مانند X₀,X₁,X₂,…. با در نظر گرفتن عدد طبیعی X₀ دلخواه

 

جمله X_n+1 ام دنباله را از روی جمله X_n به طریق زیر

 

بدست می آوریم:          X_n+1=(mod m) (aX_n+c)

 

                                                     

که در آن aوcوm ثابت هایی هستند که به دقت انتخاب شده اند.باید توجه شود ثابت m همواره عدد صحیح مثبت و ثابت های aوc نیز باید به گونه ای انتخاب شوند که عبارت حاصل در مبنای m همواره مقداری صحیح باشد.دنباله حاصل ،دنباله ای از اعداد صحیح خواهد بود که همگی بین 0 وm-1 قرار دارند.اگر کلیه این اعداد را بر mتقسیم کنیم آن گاه دنباله ای از اعداد رندم متعلق به نیم باز( [0,1 بدست خواهد آمد.بدیهی است که تعداد این اعداد نمی توانند ازm متجاوز شود.پس اگر میخواهیم n   مقدار عدد حسابی رندم را پیدا کنیم اولا m باید از n بزرگتر باشد و ثانیا هر چقدر m عدد بزرگتری باشد سرعت اجرای الگوریتم و فاصله خالی بین اعداد انتخاب شده افزایش میابد.

در هر دوی دنباله های ارائه شده برای ساخت اعداد رندم مشاهده می شود که نحوه انتخاب این اعداد همگی به جمله اول دنباله مرتبط است.

بحث مربوط به نحوه ساخت اعداد رندم بسیار گسترده تر آن است که بخواهیم همه آن را در چند صفحه جای دهیم .امید است که در نوشته های بعدی مطالب بیشتری را برایتان بنویسم!!!!!!!

منبع استفاده شده:کتابّ ( introduction to probability(ams

پله پله تا ملاقات بعد چهارم / داستان دو بعد آباد

حرکت از بعد دوم به بعد سوم

 

هر نفس آهی است کز دل خونین      لحظه های عمر بی سامان میرود سنگین

به سکوت سرد زمان به خزان سرد زمان 

نه زمان را درد کسی است نه کسی را درد زمان

 

اول از همه به تمام اهالی ریاضی سلام عرض میکنم . امیدوارم از ایام تابستان برای حل مسئله هایی که توی ایام سال تحصیلی  وقت حلش رو پیدا نکرده بودید استفاده کامل رو کرده باشید و ریاضیات حلاوت بی نظیرش رو به کامتون رسونده باشه. کم کم داریم به 31 مرداد ، روز تولد وبلاگ ریاضی کاربردی نزدیک می شیم امیدوارم برای تولد برسم!!! آخه می دونید چند هفته ای که گرفتار گچ و خاک و میله و آجر شدم با این حال سعی کردم سر موقع مطلب رو برسونم امیدوارم مفید باشه.

 

پیشنهاد می کنم اگر تمایل به خواندن متن دارید اول یه کپی از آن را ذخیره کنید بعد با خیال راحت آن را بخوانید .فکر کنم به انداز کافی از اهمیت شناخت بعد چهارم در پست قبلی نوشتم .

 

¤¤¤¤¤¤

 

هر آدمی اگر بخواهد به طور مستقیم وارد صحبت تترا اس پیس (فضای 4 بعدی ) بشود از اتفاقات عجیب و قریب آن وحشت زده می شود پس ابتدا از یک موجود دو بعدی شروع می کنیم و موضوع را دنبال می کنیم تا به سه بعد برسیم و از اینجا حرکت به سمت بعد چهارم آسان تر می شود.

 چیز هایی که برای ما بدیهی به نظر می آید برای فرد (Fred) که یه موجود دو بعدی بسیار گیج کننده است خودتان را بگذارید جای او ، تنها چیزی که از موجودات فضای ما می تواند ببیند صفحه تلاقی آن موجود به صفحه زندگی خودش است و تاثیرات چرخش آنها .در ابتدا او فقط می توانست تاثیرات دو بعدی موجودات سه بعدی را تصور کند چون تا به حال فقط موجودات دو بعدی را دیده بود سر انجام با تفکرات عمیقتر و درون گرایی بیشتر به تصوری از خود موجود سه بعدی می رسد به همین صورت وقتی که ما بخواهیم یک موجود 4 بعدی را تصور کنیم در ابتدا فقط تاثیرات 3 بعدی آن به ذهنمان می رسد اما بعد با تفکرات عمیق تر و کنار هم قرار دادن این تاثیرات موجود 4 بعدی حقیقی در ذهن ما حک خواهد شد .

تنها جهت هایی که فرد از سرزمین تخت خود می شناخت جلو ، عقب ، پایین و بالا بود فرد ما هیچ تصوری از راست و چپ نداشت فضای دید او فقط یک خط عمودی بود (بیچاره فرد) این هم تصویر فرد در محل سکونت.( نه اشتباه نکنید! فرد به خوردن نان سنگک درسته علاقه ای نداشت)

 

در دو بعد آباد چه بوی علفی می آمد

 

از آنجا که دید فرد یک خط است چیزی که در تصویر بالا مشغول تماشا آن است منظره زیر است.

 

 

به ترتیب از بالا شی آویزان ، دایره ، دیوار ، دست فرد

 

متاسفانه فرد جان نمی تواند عقب را ببیند و فقط قادر به دیدن منظره روبرو است زیرا برایش غیر ممکن است که بتواند سرش را به راست و چپ بگرداند  کاری که برای ما به آسانی امکان پذیر است  تنها راه برای اینکه بتواند منظره دیگری را ببیند بالا آوردن یا پایین بردن سرش است تازه برای دیدن پشت سرش هم مجبور است وارونه بایستد و یا اینکه مجبور است بدون دید ، به عقب حرکت کند چون فقط یک چشم در روبرو دارد.

 

جور دیگر باید دید

 

به دلیل اینکه صفحه نگارش فرد یک صفحه خطی است سیستم نگارش او هم چندان پیشرفت نداشته و چیزی شبه الفبای مورس است در تصویر پایین می توانید  یک کتاب سه صفحه ای را دست فرد جان ببینید.(سلام فرد : .....___  _ _____..  )

 

کتاب  سه صفحه ای و زاویه دید فرد

 

فرد مفهوم مربع را می فهمید ، مربع به صورت مفهومی تشکیل شده از یک سری خط  که از کنار به م چسبیده باشند برایش قابل درک بود ، بنابر این شکل به دست آمده 4 لبه خواهد داشت ولی مفهوم مکعب برایش غیر قابل درک بود البته بهترین ایده او از مکعب یک سری مربع به دنبال هم بود که همان طور که می دانید و در تصویر هم قابل دیدن است این ایده از مفهوم اصلی بسیار دور است یک مکعب یک سری مربع بر روی هم قرار گرفته است که این جهت برای فرد قابل درک نیست (حالا بد نیست این مطلب را با تصویر 4.فوق مکعب که خودمان در ذهن داریم مقایسه کنیم).

 

 تصور فرد از مربع ، تصور فرد از مکعب ، مکعب واقعی

  

فرد مفهوم دایره را هم فهمیده بود به این صورت که اگر یک سری خط  از پهلو در کنار هم قرار بگیرند و از اندازه کوچک شروع بشوند و به اندازه معینی برسند سپس دوباره کوچک شوند یک دایره را خواهند ساخت.

 

فرد تلاش کن تو می تونی

 

فرد هر چی تلاش کرد نتوانست به تصویر درستی از کره برسد البته می توانست یک سری دایره به دنبال هم را که ابتدا کوچک هستند سپس بزرگ می شوند در انتها دوباره کوچک می شوند را تصور کند ولی

 

میان ماه من تا ماه گردون....

 

شاید هم او کره را به صورت زیر تصور کند (حالا این دو تصور را با تصورات ما از 4 .فوق مکعب که در مقاله های قبلی بود مقایسه کنید)

 

 

تصور فرد از کره بصورت دوایر متحدالمرکز و کره حقیقی

 

یک روز فرد تو اتاقش نشسته بود که ناگهان کره فضای 3 بعدی ما درست در مقابل چشمان او شروع کرد به داخل شدن به فضای دو بعدی او. از نظر فرد این شی یک دایره بود که باسرعت در حال بزرگ شدن بود و چیزی نمانده بود که بیاد او و خانه اش را با خط یکسان کند ولی کم کم سرعت بزرگ شدن دایره کم شد و سپس متوقف شد و دست آخر شروع به کوچک شدن کرد این هم تصاویر از این حادثه دلخراش

 

 

ببخشید از اینکه یه کم طولانی شد! قول می دهم یک نفر هم این متن رو تا آخر نخوانده باشه!!! ولی اگر اون رو خوانده باشید ذهنتون برای قسمت بعد که می خواهیم داخل بعد 4 ام بشیم آماده شده .

 

منبع:

http://tetraspace.alkaline.org/page1.htm

ولادت حضرت علی/پله پله تا ملاقات بعد چهارم

تولد مولود کعبه از نسل بنی هاشم وزیر و جانشین پیامبر(ص) گرد آورنده قرآن بت شکن در بام کعبه و شهید محراب عبادت مبارک باد.

 

قبل از هر چیز می خواستم روز پدر را به همه پدر های دلسوز  که با چشماشون هزار تا حرف نگفته رو فریاد می زنند تبریک بگم.

 

خیلی برام سخت بود از میان این همه حرف های آسمانی چند تا رو انتخاب کنم  باقی ماجرا با دوستداران واقعیش باشه:

 

*فروتر علم آن است که بر سر زبان است و برترین ، آن که در میان دل و جان است.

*چون خرد کمال گیرد گفتار نقصان پذیرد.

*پیروزی به دور اندیشی است و دور اندیشی در به کار گرفتن رای و به کار انداختن رای در نگاه داشتن اسرار.

 

خداوند در قرآن می فرماید :

﴿ بگو ای بندگان من ای کسانی که بر نفس های خویش اسراف نمودید مایوس از رحمت خدا نشوید براستی که خداوند همه گناهان را می بخشد و براستی که او غفور و رحیم است ﴾

 

ما رو هم سر افطار دعا کنید.

 

 

اهمیت شناخت بعد چهارم

 

لطفاً یه کم وقت بگذارید و این مقاله را که به دنبال مقاله پایینی است  بخوانید بی شک اگر تا آخر مقاله را ادامه بدهید شما هم با اهمیت شناخت بعد چهارم آشنا می شوید مفاهیم مهم زیادی در ارتباط با بعد چهارم مطرح است مانند:

 

• آیا انسان یک موجود سه بعدی است یا اینکه محدودیت های فضای سه بعدی ما رو به این صورت نشون میده ؟
• اگر یک موجود چهار بعدی وجود داشته باشد به واقع این موجود چگونه می تواند باشد ؟
• اگر فرض کنیم فرشتگان موجودات 4 بعدی اند آیا شنیدن صدای آنها برای یک موجود زمینی امکان پذیر است ؟ (بررسی موضوعات اعتقادی را جدی تر بگیریم مثلا می توانید به نتایجی که  سایت زیر از آیه 5 سوره سجده و بررسی مفاهیم نسبیت در قرآن گرفته یه سری بزنید حتما به بخش نظرات اون هم یه نگاهی بندازید ببینید این جور نتیجه گیری ها چگونه حرص بعضی یارو در آورده)

  يُدَبِّرُ الْأَمْرَ مِنَ السَّماءِ إِلَي الْأَرْضِ ثُمَّ يَعْرُجُ إِلَيْهِ فِي يَوْمٍ کَانَ مِقْدَارُهُ أَلْفَ سَنَةٍ مِمَّا تَعُدُّونَ   ﴿ 5 ﴾     جزء 21  

امور این جهان را از آسمان به سوى زمین تدبیر مى کند، سپس در روزى که مقدار آن هزار سال از سالهایى است که شما مى شمرید به سوى او بالا مى رود ( و دنیا پایان مى یابد).

He directed the ordinance from the heaven unto the earth; then it ascended unto Him in a Day, whereof the measure is a thousand years of that ye reckon.

 

آدرس سایت :

http://www.speed-light.info/

 

مثلا این یهودی ها اطلاعات درستی از کتاب آسمانی خودشون ندارن ولی سعی کردن تمام ظرفیت های علمیشون رو برای همون اطلاعات ضعیف به کار بگیرند و کار های خوبی هم کرده اند!!!!!!

 

·  یک موجود 4 بعدی می تواند برای ما یک موجود برتر باشد چنین موجودی می تواند هر چیزی را در اطراف ما ببیند .مثلا  بدون هیچ برشی به راحتی می تواند محتویات درون شکم یک انسان را ببیند. درست مثل شما که می توانید یک نقطه را از داخل یک دایره دو بعدی در جهت عمود به صفحه خارج کنید یک موجود 4 بعدی هم می تواند هر چیزی رو از داخل یک پوسته محصور 3 بعدی خارج کند.

·  یک موجود 4 بعدی می تواند اشیا را از مقابل شما بر دارد بدون اینکه شما حتی احساس ناپدید شدن آن شی هم داشته باشد.

·  یک موجود3 بعدی می تواند مثلا یک تومور سرطانی را بدون هیچ گونه برشی به پوست از مغز ما خارج کند یا اینکه  تمام گره های 3 بعدی قابل باز شدن به دست یک موجود 4 بعدی است همان گونه که شما می توانید یک گره دو بعدی  را (مثلا  یک حلقه که در یک صفحه قرار دارد ) به راحتی با بالا بردن سر طناب به داخل فضای3 بعدی باز کنید.

·  یک جفت دست کش در چنین فضایی می تواند به راحتی به دو لنگه دستکش برای دست چپ و یا به دو لنگه دستکش دست راست تبدیل شود.

 

 

 

·  حدس راجع به حیات چهار بعدی مشکل است ما موجودات3 بعدی در ابتدا فقط شامل یک لوله بسته بودیم که تمام مواد حیاتی مورد نیازش رو از دریا می گرفته حالا هم تنها فرقی که داشتیم پیچیدگی ارگانها است و اینکه مواد حیاتی مورد نیازمان به داخل کیسه ای رفته که ارگانهای حیاتی رو در بر دارد.
اما چیزی که از روابط ریاضی یافت می شود گویای این نکته است که بیشتر حجم یک موجود مثلا 10 بعدی نزدیک سطح خارجی است
علت این امر این است که اگر شما حجم یک کره D  بعدی را در نظر بگیرید این حجم از رابطه زیر بدست می آید:

     V(R) = S(D)*(R^D) / D

زمانی که S زاویه مخروطی (solid angle) در D بعد است و R شعاع. مثلا در 3 بعد داریم:

D=3 S(D)=4pi => V(R)=4pi*R^3/3=4/3*pi*R^3  

اگر حجم کره هایی به شعاع 1 و 1-a را زمانی که a بسیار کوچک است بررسی کنیم خواهیم داشت:

V(1)-V(1-a)=S(D)/D*(1-(1-a)^D)

این حجم ذاتاً حجم پوسته بین کره با شعاع 1 و کره با شعاع 1-aاست و به خصوص زمانی که یک کره 10 بعدی داشته باشیم تقریبا 40% حجم در 0.05*R پوسته قرار دارد. در 4 بعد تقربیا 34% حجم، در 3 بعد 27% در 0.1*Rاست و برای کره 10بعدی در 0.01*R پوسته 65% حجم قرار دارد .

پس اگر موجودی در این بعد قابل فرض باشد باید کلیه علائم حیاتی آن نزدیک به سطح شبه کیسه حیاتی آن باشد.

 

 

·  بحث راجع به شکل ، هندسه و خمیدگی عالم خود به خود ما را به مفهوم بعد 4 هدایت میکند.به این دلیل که انحنای بعد 3ام به بعد 4 ام نیاز دارد .

 

پله پله تا ملاقات بعد چهارم

بعد چهارم :تترا اس پیس

 

این مقاله یه تلاش کوچک برای فهم بعد چهارم اگر خوشتون اومد با هم ادامه اش بدیم .

 

البته پله های این مقاله خیلی کمتر از پله های کتاب آقای زرینکوب است.

 

دادن تعریف بعد چهارم (ب.4) به یک نفر نسبتا آسان است ولی (تعریف خالی چه دردی از دانش آموز و دانشجو برطرف می کند!) دادن یک درک حسی ، قابل فهم  و شهودی از آن خیلی مشکل تر است.

 

یک تعریف از ب.4 این است که بگوییم :هر فضایی که شخص با حرکت در جهت عمود به فضای 3 بعدی به آن می رسد فضای چهار بعدی نامیده می شود.

 

وقتی شخصی غیر خلاق این تعریف را می شنود ، شروع به اشاره کردن در فضای اطرافش می کند و در جستجوی اینکه چطور همچین جهتی وجود دارد (شاید حسابی به دور خودش بچرخد).چنین توضیح مختصری هیچ احساس درک حسی و کامل از ب.4 به شخص نمی دهد.

 

به این قصد که درک بهتری از ب.4 داده باشیم (البته نویسنده مقاله داده باشد نه من) با یک روش شروع میکنیم که دنباله ای از فوق مکعب های n بعدی را به کار می گیرد این دنباله از بعد صفر شروع می شود و به بعد 4ام می رسد.(یا علی : حالا این فوق مکعب n بعدی چیه؟!) . فوق مکعب n بعدی ( n.فوق مکعب) تعمیم همان مکعب است منتها در n بعد . در ب.3 این فوق مکعب ، همان مکعب معمولی خودمان است.به این صورت شما با دیدن n.فوق مکعب هایی که بترتیب از موارد قبلی ساخته می شود درک بهتری از بعد چهارم پیدا خواهید کرد .(بگید انشاء الله)

 

پله اول : بعد صفر

 

یک نقطه را در داخل فضا تصور کنید.این نقطه یک 0.فوق مکعب است.یک نقطه تنها صفر بعدی است چون نه طول، نه عرض و نه ارتفاع دارد و بینهایت کوچک است.(خیلی به ایدهآل یک انسان در برابر خدا نزدیک شد ).تمام نقطه ها یک اندازه و یکسانند.به این خاطر که آنها بعد ندارند.در زیر تصویر یک نقطه را می بینید که بعد صفر را به ما نشان می دهد.

 

پله دوم : اولین بعد

 

این نقطه صفر بعدی را بگیرید و در هر جهتی که دلتان خواست به بیرون بکشید. با این کار یک پاره خط می سازید که همان 1.فوق مکعب است.همه پاره خط ها یک بعد دارند چون فقط در یک مقیاس با هم متفاوت هستند یعنی طول. همه عرض و ارتفاعی برابر دارند که بینهایت بار کوچک است.اگر یک خط را بینهایت بار بکشیم سر تا سر فضای یک بعدی را که در آن قرار دارد پوشش می دهد.

 

 

پله سوم : دومین بعد

 

حالا این پاره خط را بگیرید و از قالبش به هر جهتی که نسبت به جهت اول عمود باشد بکشید. یک مربع ساخته خواهد شد که 2.فوق مکعب نامیده می شود. هر مربع دو بعدی به این خاطر که باهم در دو مقیاس متفاوت هستند ، طول و عرض.همه آنها ارتفاع یکسان دارند که بی نهایت بار کوچک است. هر کدام از لبه های این مربع طول یکسان دارند و هر کدام از زوایای آن قائمه هستند.اگر بینهایت بار این مربع را پهن کنید سرتاسر فضای دو بعدی را می پوشاند.

 

پله چهارم : سومین بعد

 

این مربع متناهی را بگیرید و در جهتی که به دو جهت قبلی عمود باشد بکشید و با این کار یک مکعب بسازید که 3.فوق مکعب نامیده می شود.همه مکعب ها سه بعدی هستند به این خاطر که در هر یه مقیاس شناخته شده ما یعنی طول عرض و ارتفاع  با هم متفاوتند. درست مانند مربع ، تمام لبه های یک مکعب هم اندازه اند و همه زوایا قائمه هستند.اگر این مکعب را در تمام جهات گسترش دهیم  تمام فضای 3 بعدی را پوشش خواهیم داد.

 

پله پنجم : چهارمین بعد

 

و حالا آخرین مرحله ، یک مکعب محدود را بگیرید و باز هم آن را در جهتی دیگر که بر سه جهت اولیه عمود باشد بیرون بیاورید.

 

اما چگونه این کار ممکن می شود ؟

 

این کار در محدودیت های فضای سه بعدی امکان پذیر نیست ( فضایی که در این مقاله به آن فضای  حکومتی می گوییم ) اگر چه در فضای  چهار بعدی ( که آن را تترا اس پیس می نامیم) این کار امکان پذیر است . شکلی که بواسطه کشش مکعب به داخل تترا اس پیس به دست می آید را تسرکت (tesseract)می نامیم که همان 4.فوق مکعب است.هر تسرکت از لحاظ اندازه در چهار مقیاس با تسرکت های دیگر متفاوت است ( که در یک تسرکت واحد تمام آنها با هم برابر هستند.)

طول ، عرض ، ارتفاع و یک مقیاس چهارم که من آن را تترا طول (trength )می نامم.به مکعب های n بعدی قبلی نگاه کنید، همه آنها تترا طول یکسان و بینهایت کوچک دارند.همچنین درست مانند مکعب و مربع همه لبه ها در یک تسرکت دارای اندازه برابر هستند و همه زوایا قائمه است . اگر یک تسرکت را در همه جهات امتداد دهیم ، همه فضای چهار بعدی را خواهد پوشاند.

 

روش های گوناگونی برای نشان دادن تسرکت وجود دارد ، که سه تا از این روش ها را در زیر نشان داده میشود.اولین روش تصویر ساری به درون ( افکنش درونی ، تابش به داخل ) است و  با استفاده از تصوير پرسپکتيوى یک تسرکت به فضای حکومتی ( فضای 3 بعدی) ساخته می شود. قسمت هایی از تسرکت که دورتر است در تصویر داخلی به صورت کوچکتر ظاهر می شود.چهار چوب اصلی مکعب که قبل از گسترده شدن به تسرکت وجود داشت به رنگ خاکستری ، مسیر رئوس به رنگ سبز (گردن مرغابی) ، و مکان توقف چهار چوب مکعبی گسترده شده به رنگ آبی است.

 

نکته :تسرکت اصلی شبیه به شکلی که از روش تصویر سازی به درون بدست می آید، نیست  در واقع تصورسازی درونی تصویری کاملا تحریف شده از حقیقت یک تسرکت است.

هر کدام از لبه ها که شما در این شکل می بینید در واقع هم اندازه اند و تمام زوایای مابین لبه ها قائمه اند.

 

 

دومین روش برای نشان دان تسرکت باز هم یک تسرکت معمولی نیست و چیزی جز یک تصویر سازی موازی از یک تسرکت اریب نیست.برای ساختن همچین شکلی ابتدا یک چهار چوب مکعبی  را تصور کنید سپس چهارچوب مکعب بالائی را در جهتی قطری و به اندازه فاصله کوتاهی در فضای سه بعدی معمولی انتقال دهید .از آنجا که این انتقال موازی و در فضای حکومتی اتفاق می افتد ، در واقع می تواند در هر جهتی که بتوان به سمتش اشاره کرد این انتقال صورت گیرد.بس از انتقال ردی که لبه های تسرکت ایجاد می کند شکل مورد نظر ما را ایجاد میکند.نتیجه این کار شکلی است که دو مکعب با رئوس متصل به هم دارد.در شکل اصلی ، تمام لبه ها در داخل چهار چوب مکعبی اندازه برابر و با هم زاویه قائمه دارند.گرچه ، آنها با لبه های متصل کننده سبز رنگ زاویه قائمه ندارند و این لبه ها اندکی بلند تر از لبه های چهار چوب مکعبی است.

 

 

روش سوم  برای نشان دان یک تسرکت تصویر سازی موازی است .این روش مانند روش تسرکت مایل است با این تفاوت که دیگر انتقال چهار چوب مکعبی بالا وجود  ندارد. از آنچایی که لبه های تسرکت در جهتی که عمود بر فضای حکومتی باشد کشیده می شوند ، زمانی که شکل به داخل خود فضای حکومتی دوباره تصویر می شود لبه های مکعب آبی رنگ بر روی لبه های مکعب خاکستری تصویر می شوند(یعنی یک شکل را در جهتی عمود بر فضای 3 بعدی و دوباره در همان فضای 3بعدی تصویر کنیم) . نتیجه تصویر کردن یک مکعب ساده است.(خلاصه مثل انسان که n تا بعد داره ولی تصویرش همین موجود 3 بعدی زمینی است شاید مثلا بشه ا همین جور یه نظراتی هم راجع به دیدار جبرئیل و پیامبر داد البته فقط نظر).این موضوع در هنگام تصویر سازی درونی اتفاق نیفتاد چون در آنجا ما از اصول پرسپکتیو استفاده میکردیم).

 

 

 

آخرین گام از تلاش برای به تصویر کشیدن یک تسرکت مشکلات نمایش اشیاء  فضای چهار بعدی در فضایی که بر ما حکومت می کند با تمام محدودیت هایش نشان داده شد – در واقع یک جهت اضافی وجود دارد که ما قادر به نشان دادن آن بدون تحریف کردن حقیقت شکل اصلی نیستم، به همین دلیل مثال های زیادی برای شروع به درک طبیعت بعد چهارم نیاز است .

این تنها مقدمه ای برای درک این بعد بود هنوز مسائل و خواص ناگفته زیادی از این بعد باقی ماند مانند دوران ، صافی ، شناور سازی و ....

 

اگر این مطالب براتون جالب بود حتما کمک کنید تا ادامه اش بدیم .

 

 منبع:

 

http://tetraspace.alkaline.org/introduction.htm

 

پله آخر : یکی مانده به آخرین بعد

 

بعد آخر که نمی شه ولی یکی مونده به آخرش رو از مسجد تو ایام 3 روز اعتکاف(ایام البیض) ماه رجب پیدا کنید.ما که تا حالا سعادت نداشتیم.

روش از سرگیری یا روش تکرار(قسمت سوم)

تبدیل با کمیابی معادلهf(x)=0 به معادله x=g(x)

 

در روش از سر گیری ، تبدیل معادله داده شده f(x)=0 به معادله x=g(x) نخستین گام است ، اما دیدیم که این تبدیل ، ممکن است به پدید آمدن دنباله هایی واگرا بینجامد و کاری بیهوده باشد. برای آن که دنباله

(x_n)=  x₀ ,  x₁  , x₂  ,……., x_k  ,  x_k+1  …..

 

همگرا و حد آن ، همان x ریشه معادله داده شده باشد ، کافی است که هر چه باشد n :

 

|x-x_n+1|<|x-x_n|   , x=0  , 1  ,  2  ,  3  ,…

 

اما x=g(x) (چون اگر ریشه داخل معادله قرار می گرفت جملات دنباله تکرار و برابر ریشه بود) و x_n+1=g(x_n)  ، بنابر این :

 

|g(x)-g(x_n)|<|x-x_n|

 

│g(x)-g(x_n)│

│ ──────│<1

│   x - x_n     │  

 

هر گاه n→∞ و در نتیجه آن x_n→x و g(x) → g(x_n) و بنابر تعریف مشتق تابع ، خواهیم داشت :

 

│ǵ(x)│< 1

 

در همسایگی x شامل x₀  ، منحنی نمایش تابع g(x)  یکنوا (یا کلا صعودی یا کلا نزولی ) و قدر مطلق شیب خط مماس بر منحنی کوچکتر از یک باشد (یعنی زاویه حاده ای که مماس بر منحنی با محور طول ها می سازد ، کوچکتر از 45 درجه است).

 

تعبیر هندسی

 

از دیدگاه هندسی ، ریشه معادله f(x)=0 طول نقطه A، محل برخورد خم C نمودار تابع y=f(x) با محور طولهاست و اگر در نقطه A خط Δ ، عمود بر محور طول ها رسم شود ، طول هر نقطه Δ ، و بویژه طول نقطه M ، محل برخورد آن با نیمساز ربع یکم و سوم نیز برابر با x است.از این رو ، برای به دست آوردن ریشه معادله f(x)=0 ، کافی است که طول (یا عرض ) نقطه M به دست آید .

معادله x=g(x) نیز از دیدگاه هندسی ، هم ارز با دستگاه در معادله y=g(x) و y=x است و چنانکه خم Γ نمودار تابع  y=g(x) باشد ، منحنی Γ از نقطه M می گذرد. هر گاه مماس بر Γ در همسایگی از محور طول ها ، زاویه کوچکتر از 45 درجه بسازد نقطه های به طول های x₀ ,  x₁  , x₂  ,……., x_k  ,  x_k+1  …..  از Γ بترتیب ، به M نزدیک می شوند. به این نکته هم باید توجه داشت که هر دو نقطه به طول های x_k

و x_k+1  از Γ ممکن است در یک طرف یا دو طرف M واقع باشد.

در حالتی هم که معادله داده شده خطی و به صورت ax+b=0 باشد ، تبدیل آن به x=px+q باشد چنان انجام گیرد که p کوچکتر از یک باشد.

ادامه دارد.....