فراکتال اژدها یا پارک ژوراسیک
افلاطون گفت :«خدا هندسه دان است .» ژاکوبی این جمله را چنین تغییر داد : «خدا حساب دان است .» سپس کرونکر آمد و این سخن به یاد ماندنی را باب کرد: « خدا عدد های طبیعی را آفرید ، مابقی کار انسان است »فلیکس کلاین
اول یک تکه کاغذ 30x2cm تهیه کنید حالا این نوار کاغذی را به موازات عرض و هر بار از وسط 4 بار تا بزنید به طوری که تمام خط های تا به موازات عرض قرار بگیرد .حالا شروع کنید به باز کردن کاغذ از روی خط های تا اما دقت کنید زاویه های ایجاد شده روی هر یک از خط های تا 90 درجه باشد به عبارت دیگر دو لبه ی هر خط تا با هم زاویه 90 درجه بسازند یعنی یه چیزی شبیه به تصویر پایین:
حالا این شکل چیه ؟ این کجاش شبیه یک شکل فراکتالی زیباست ! صبر کنید "همیشه اشکال فراکتالی در مراحل اولیه کلید های کمی از ساختار ریاضیاتی زیبای خود ارائه می دهند" نوار کاغذی ما بعد از باز شدن از کنار مانند تصویر زیر است:
شکل(1)
ما نمی تونیم بیش از 8 تا به کاغذ بزنیم بعد هم تمام زوایا را بصورت 90 درجه در بیاوریم پس برای ادامه راه از همون موجود کودنی که در مقابل هوش سرشار شما قرار گرفته استفاده می کنیم یعنی اینکه قاعد کلی حرکت این خطوط را استخراج می کنیم و می دیم دست رایانه!
اگر خوب به ابتدای مسیر حرکتی (خطوط قرمز) که از بالا شروع میشود نگاه کنیم می بینمی که ابتدا متحرک ما به سمت راست پیچیده خوب ما این حرکت را با یک R نشان می دهیم سپس دوباره بسمت راست و بعد از ان به سمت چپ L و.... حالا خودتون به رشته حروف زیر دقت کنید ببینید می توانید قاعده اصلی را بدست بیاورید:
......R->RR->RRL->RRLR->RRLRRLL
خوب حالا اگر این 2 تا قاعده را اجرا کنید می توانید بقیه مسیر رو بدون نگاه کردن به باقی شکل بنویسید:
1.ابتدا با یک حرکت R شروع کنید.
2.متمّم رشته حرکات قبل از R ی که هم اکنون نوشته شده را از انتها به ابتدا وارد کنید، ( اگر متوجه نشدید صبر کنید) به عبارت دیگر به حرکت ماقبل R نوشته شده نگاه کنید اگر R بود شما L را به بعد از R اضافه کنید و اگر R بود شما L را به بعد از R دستور(1) اضافه کنید و همین کار را برای حرکت های قبلی هم تکرار کنید تا به اولین حرکت برسید.
خوب اگر دقت کنید برای اولین R قانون دوم اجرا نمی شود چون در سمت چپ آن حرفی نیست . حالا برای اینکه بهتر متوجه ماجرا بشیم به چند گام ابتدایی زیر دقت کنید و آن را با رشته حرکاتی که پیش از این نوشتیم مقایسه کنید .
R
RRL
RRLRRLL
RRLRRLLRRRLLRLL
RRLRRLLRRRLLRLLRRRLRRLLLRRLLRLL
.
.
.
من R های قانون اول را پر رنگ تر نوشتم ولی R هایی که از قانون دوم بدست آمده با حروف معمولی نوشته شده. رشته حروف چهارم دقیقا تمام شکل(1) را کامل میکند ولی رشته پنجم به شکل زیر است :
حالا فکر می کنید اگر این قاعده 20 بار و در مسیر های کوتاه اجرا شود چه شکلی بدست می آید، برای دیدن چهره واقعی این فراکتال زیبا از برنامه کوچکی (18k )که دوست عزیزم آقا تایماز برای اون نوشته استفاده کنید اینم لینک برنامه:
البته این برنامه فراکتال را در دو جهت رسم می کند یعنی دو متحرک بصورت قرینه از یک نقطه شروع به حرکت می کنند.
اما در انتها می خواهیم ببینیم چطور میشه حرکت nام ( راست یا چپ بودن )را پیدا کنیم :
ابتدا عدد n را بصورت K2n بنویسید طوری که k یک عدد فرد باشد حالا اگر باقیمانده k بر 4 عدد 1 شد nامین حرکت R و اگر باقیمانده 3 بود nامین حرکت L است.
مثال: می خواهیم جهت حرکت 10 را حساب کنیم :
۵x21 à 5 mod 4 = 1
پس حرکت 10 ام به سمت راست R است.
یا مثلا حرکت 76376
76376 = 9547 x 8 =9547 x 23
۹۵۴۷mod4 = 3
بنابراین حرکت 76376 به سمت چپ L است.
حالا اگر می خواهید ببینید که این فراکتال با چه تابع تکرار شونده ای تعریف میشه و دنباله حرکات در مبنای 2 یا 8 کدام دنباله ها از اعداد را میدهد ، نمودار رخداد (recurrence plot ) این فراکتال چگونه است ، تاریخچه و تصاویر دیگر آن به چه نحو است، به لینک های منبع مراجعه کنید.
منابع :
http://math.rice.edu/~lanius/frac/jurra.html
«آيا کساني که مي دانند با کساني که نمي دانند يکسانند. » قرآن کريم