ریاضی کاربردی

یکی از اتحاد های اساسی فیبوناچی اتحاد زیر است:

(u_n² = u_n+1u_n-1 + (-1)^n-1     n≥2        (۱

این اتحاد اثبات بسیار ساده ای دارد که در انتهای این مطلب ذکر شده اما ارتباط آن با ترفند هندسی ما به این صورت است. زمانی که n=2k است این اتحاد به صورت فرمول زیر در می آید:

(U_2k² = u_2k+1u_2k-1 -1     (2

این فرمول مبنای ترفند هندسی معروفی است که می توان آن را در هر مورد مربعی که طول ضلع آن 2k باشد اجر کرد. توضیح معما آسان است نقطه های a،b،c،d همگی بر قطر مستطیل قرار ندارند بلکه راس های متوازی الضلاعی ایی هستند که مساحت آن البته برابر با یک واحد مساحت اضافی مستطیل بالا است . برای اینکه با نحوه تقسیم مربع با استفاده از عدد هایی که فرمول (2) در اختیار ما می گذارد ، آشنا شوید ، به پویانمایی کوتاه زیر توجه کنید :

 در واقع این ترفند تعبیری از اتحاد (2) است که مساحت مربع اولیه دقیقا برابر با مساحت مستطیل منهای مساحت متوازی اضلاع است می توان نشان دارد که ارتفاع بزرگتر متوازی الاضلاع برابر با :

خوب حالا اگر مقدار U2k در حد معقولی بزرگ باشد (مثلا U2k= 144 که در این صورت U2k-2= 55 ) ، آنگاه شکاف به اندازه ای باریک است که قابل رویت نیست.

برای اثبات به مراحل زیر توجه کنید:

u_n² - u_n+1u_n-1 =  u_n(u_n-1 + u_n-2) - u_n+1u_n-1   

  (u_n- u_n+1) u_n-1 + u_nu_n-2      (1)  =

و از آنجا که داریم :

u_n+1 = u_n + u_n-1

بنابراین از (1) خواهیم داشت:

(u_n² - u_n+1u_n-1 =  (-1) (u_n-1² - u_nu_n-2

صرف نظر از علامت سمت راست این عبارت عین سمت چپ آن است با این تفاوت که در سمت راست ،  از همه اندیس ها یک واحد کاسته شده است .با تکرار استدلال می توان نشان داد که :

(u_n-1² - u_nu_n-2 =  (-1) (u_n-2² - u_n-1u_n-3

بنابراین :

(u_n² - u_n+1u_n-1 =(-1)² (u_n-2² - u_n-1u_n-3

و پس از n-2 مرحله ، به :

u_n² - u_n+1u_n-1=(-1)^n-2(1²-2x1)= (-1)^n-1

می رسیم که همان اتحاد (1) است که در پی اثبات آن بودیم.